Ba đường trung tuyến trong tam giác
A: Bài tập cơ bản
Câu 1: Chọn những đáp án đúng
Cho ΔABC có M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó đoạn thẳng AM được gọi là
A. đường phân giác xuất phát từ đỉnh A
B. đường trung tuyến ứng với cạnh BC
C. đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A
D. đường trung trực ứng với cạnh BC
Cho ΔABC có M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó đoạn thẳng AM được gọi là
B. đường trung tuyến ứng với cạnh BC
hoặc C. đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A
Câu 2: Chọn đáp án đúng nhất
Một tam giác có bao nhiêu đường trung tuyến?
A. 1
B. 2
C. 3
Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh của nó.
Đáp án đúng là C. 3
Câu 3: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABC, có M là trung điểm của AC. Khi đó đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B là ?
A. BA
B. BM
C. BC
Cho tam giác ABC, có M là trung điểm của AC. Khi đó đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B là B. BM
Câu 4: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác DEF có M là trung điểm của cạnh DE. Khi đó đường trung tuyến ứng với cạnh DE là ?
A. FM
B. DM
C. FD
Cho tam giác DEF có M là trung điểm của cạnh DE. Khi đó đường trung tuyến ứng với cạnh DE là A. FM
Câu 5: Chọn đáp án đúng nhất
Điền các số thích hợp vào ô trống để hoàn thành định lí sau:
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua ….. điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh của tam giác một khoảng bằng ….. độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
A. 3 ; \(\frac{2}{3}\)
B. 1 ; \(\frac{1}{3}\)
C. 1 ; \(\frac{2}{3}\)
D. 1 ; \(\frac{1}{2}\)
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua 1 điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh của tam giác một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Đáp án đúng là C. 1 ; \(\frac{2}{3}\)
Câu 6: Chọn đáp án đúng nhất
Hình nào dưới đây thể hiện đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh C của tam giác ABC?
Hình thể hiện đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh C của tam giác ABC là D.
B: Bài tập trung bình
Câu 1: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CQ đồng quy tại điểm G. Khi đó điểm G gọi là ?
A. tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
B. trực tâm của tam giác ABC
C. trọng tâm của tam giác ABC
D. tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CQ đồng quy tại điểm G. Khi đó điểm G gọi là
C. trọng tâm của tam giác ABC
Câu 2: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác DEF có DM, EN, FP là ba đường trung tuyến và G là trọng tâm của tam giác DEF. Khi đó kết luận nào sau đây là đúng?
A. DG = \(\frac{2}{3}\)DM
B. FG = \(\frac{2}{3}\)FP
C. EG = \(\frac{2}{3}\)EN
D. Cả A, B, C đều đúng
Ta có hình vẽ:
Vì G là trọng tâm tam giác DEF nên G cách mỗi đỉnh D, E, F một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. Suy ra
A. DG = \(\frac{2}{3}\)DM đúng
B. FG = \(\frac{2}{3}\)FP đúng
C. EG = \(\frac{2}{3}\)EN đúng
Đáp án đúng là D. Cả A, B, C đều đúng
Câu 3: Chọn đáp án đúng nhất
Hình nào thể hiện G là trọng tâm tam giác MNP?
Hình thể hiện G là trọng tâm tam giác MNP là D.
Câu 4: Điền đáp án đúng vào ô trống
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm tam giác ABC, AG cắt BC tại M, BG cắt AC tại N. Biết AM = 4,5 cm; BN = 6,6 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AG và BG.
Đáp số:
AG = ….. cm
BG = ….. cm
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
+ AM là đường trung tuyến ứng xuất phát từ đỉnh A. Suy ra \(AG = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} . 4,5 = 3\) cm
+ BN là đường trung tuyến ứng xuất phát từ đỉnh B. Suy ra \(BG = \frac{2}{3} BN = \frac{2}{3} . 6,6 = 4,4\) cm
Vậy các số cần điền lần lượt là 3 ; 4,4
Câu 5: Chọn đáp án đúng nhất
Chọn từ thích hợp để điền vào chỗ trống trong câu sau:
Ba ….. của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh của tam giác một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài ….. đi qua đỉnh ấy.
A. đường phân giác ; đường trung tuyến
B. đường phân giác ; đường phân giác
C. đường trung tuyến ; đường trung tuyến
D. đường trung tuyến ; đường phân giác
Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh của tam giác một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Đáp án đúng là C. đường trung tuyến ; đường trung tuyến
Câu 6: Lựa chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD=BA. Trên cạnh BC lấy điểm G sao cho BG=13BC. Khi đó G là trọng tâm của tam giác ACD. Đúng hay sai ?
A. ĐÚNG
B. SAI
Trong tam giác ACD có:
AB=BD (gt) ⇒ CB là đường trung tuyến (1)
Mặt khác ta có: \(BG=\frac{1}{3}BC\) (gt) ⇒ \(CG=\frac{2}{3}BC\) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ G là trọng tâm của tam giác ACD (tính chất trọng tâm)
Vậy khẳng định trên là A. ĐÚNG
C: Bài tập nâng cao
Câu 1: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến AM và BN và trọng tâm G của tam giác ABC.
Chọn các số thích hợp đặt vào chỗ trống để được đẳng thức:
\(\frac{BG}{BN}=\) ..... ; \(\frac{GN}{GB}=\) …..
A. \(\frac{3}{2} ; \frac{1}{2}\)
B. \(\frac{2}{3} ; \frac{1}{3}\)
C. \(\frac{2}{3} ; 2\)
D. \(\frac{2}{3} ; \frac{1}{2}\)
Ta có hình vẽ:
Đặt BN=x (x>0)
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(BG=\frac{2}{3}.BN=\frac{2}{3}x\)
Mặt khác BG+GN=BN
nên \(\frac{2}{3}x+GN=x\)
suy ra \(GN=x−\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}x\)
Ta có: \(\frac{BG}{BN}=\frac{\frac{2}{3}.x}{x}=\frac{2}{3}\) ; \(\frac{GN}{GB}=\frac{\frac{1}{3}.x}{\frac{2}{3}.x}=\frac{1}{2}\)
Vậy \(\frac{BG}{BN}=\frac{2}{3} ; \frac{GN}{GB}=\frac{1}{2}\)
Đáp án đúng là D. \(\frac{2}{3} ; \frac{1}{2}\)
Câu 2: Chọn đáp án đúng nhất
Cho hình vẽ. G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính độ dài x , y trên hình vẽ.
A. x = 7,8 ; y = 6,2
B. x = 2,6 ; y = 9,3
C. x = 2,6 ; y = 6,2
D. x = 6,2 ; y = 2,6
Vì AN=CN nên N là trung điểm của AC. Suy ra BN là đường trung tuyến.
Ta có: BN = BG + GN = 4,2 + 2,1 = 6,3
Suy ra \(\frac{BG}{BN}=\frac{4,2}{6,3}=\frac{2}{3}\) hay \(BG=\frac{2}{3}BN.\)
Do đó G là trọng tâm tam giác ABC.
Từ hình vẽ ta có AM , BN , CE đồng quy tại G nên AM và CE cũng là các đường trung tuyến.
Ta có: \(x = GM = \frac{1}{2}AG=\frac{1}{2}.5,2=2,6\)
y = CG = 2 . GE = 2 . 3,1 = 6,2
Vậy đáp án đúng là C. x = 2,6 ; y = 6,2
Câu 3: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABC cân ở A, có AM là đường trung tuyến (M ∈ BC). Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
A. M là trọng tâm tam giác ABC
B. Tam giác ABC là tam giác đều
C. Tam giác ABC vuông ở A
D. AM là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A
Ta có hình vẽ:
Xét ΔABM và ΔACM có:
AM là cạnh chung
BM = CM (vì AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm của BC)
AB = AC (vì ΔABC cân ở A)
Suy ra ΔABM = ΔACM (c.c.c)
Suy ra \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (hai góc tương ứng)
Do đó AM là tia phân giác của góc BAC hay AM là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A.
Đáp án đúng là D. AM là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A
Câu 4: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABC cân ở A, có BM, CN là các đường trung tuyến (M ∈ AC, N ∈ AB).
So sánh độ dài BM và C
1. BM = CN
2. BM < CN
3. BM > CN
4. BM ≠ CN
Ta có hình vẽ:
Xét ΔAMB và ΔANC có:
AB = AC (vì ΔABC cân ở A)
Góc A chung
AM = AN (\(=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC\) và AB = AC)
Suy ra ΔAMB = ΔANC (c.g.c)
Suy ra BM = CN (hai cạnh tương ứng)
Vậy đáp án đúng là 1. BM = CN
Câu 5: Chọn đáp án đúng nhất
Chọn câu sai.
A. Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm.
B. Giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác gọi là trọng tâm tam giác.
C. Trọng tâm tam giác cách đều ba cạnh của tam giác.
D. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
A. Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm. (đúng)
B. Giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác gọi là trọng tâm tam giác. (đúng)
C. Trọng tâm tam giác cách đều ba cạnh của tam giác. (sai vì trọng tâm cách mỗi đỉnh của tam giác một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy)
D. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến. (đúng)
Đáp án là C. Trọng tâm tam giác cách đều ba cạnh của tam giác.
Câu 6: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, trung tuyến CM = 15,3 cm (M ∈ AB). Tính độ dài các đoạn thẳng CG và GM.
A. CG = 5,1 cm và GM = 10,2 cm
B. CG = 10,1 cm và GM = 5,2 cm
C. CG = 5,2 cm và GM = 10,1 cm
D. CG = 10,2 cm và GM = 5,1 cm
Ta có hình vẽ:
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
\(CG=\frac{2}{3}CM=\frac{2}{3}.15,3=10,2\) (cm)
Vì G nằm giữa C và M nên
CG + GM = CM
10,2 + GM = 15,3
GM = 15,3 – 10,2 = 5,1 (cm)
Đáp án đúng là D. CG = 10,2 cm và GM = 5,1 cm