Hiển thị phần đáp án

1: Đúng

2: Đúng

3: Sai vì: Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng

4: Đúng

 

Hiển thị phần đáp án

Ta có:

\(\frac{4}{8}=\frac{6}{12}\) (vì cùng \(=\frac{1}{2}\))

Nên hai tam giác vuông đó có đồng dạng với nhau

Vậy đáp án đúng là: A. Có đồng dạng

 

Hiển thị phần đáp án

△  vuông DEF có: \(\widehat{E}+\widehat{F}=90°\) (hai góc phụ nhau)

⇒\(\widehat{E}=90°−\widehat{F}=90°−30°=60°\)

Xét △ABC và △DEF có:

\(\widehat{B}=\widehat{E}\) (vì cùng =60°)

⇒ △ vuông ABC ∽ △ vuông DEF (góc - góc)

Vậy đáp án đúng là: A. Có đồng dạng

 

Hiển thị phần đáp án

△DEF vuông tại D (giả thiết)

⇒\(DE^2+DF^2=EF^2\) (định lí Py-ta-go)

⇒\(EF^2=9^2+12^2=225⇒EF=15(cm)\)

Xét △ABC và △DEF có:

\(\widehat{A}=\widehat{D}\) (cùng =90°)

\(\widehat{C}=\widehat{F}\) (giả thiết)

⇒ △ABC∽△DEF (góc - góc)

⇒\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒\(\frac{3}{9}=\frac{AC}{12}=\frac{BC}{15}\)

⇒\(\begin{cases} AC=\frac{3.12}{9}=4(cm) \\ BC=\frac{3.15}{9}=5(cm) \end{cases} \)

Vậy số cần điền vào ô trống lần lượt là 4; 5; 15

 

Hiển thị phần đáp án

Xét △MNP và △DEF có:

\(\widehat{NMP}=\widehat{EDF}\) (cùng =90°)

\(\frac{MN}{DE}=\frac{MP}{DF}\) (vì \(\frac{4}{8}=\frac{5}{10}\))

⇒ △MNP∽△DEF (cạnh-góc-cạnh)

⇒\(\frac{MA}{DO}=\frac{MN}{DE}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)

Vậy ta cần điền vào ô trống là \(\frac{1}{2}\)

 

Hiển thị phần đáp án

Xét △MNP và △DEF có:

\(\widehat{NMP}=\widehat{EDF}\) (cùng =90°)

\(\frac{MN}{DE}=\frac{MP}{DF}\) (vì \(\frac{4}{8}=\frac{5}{10}\))

⇒ △MNP∽△DEF (cạnh-góc-cạnh)

⇒\(\frac{S_{△MNP}}{S_{△DEF}}=(\frac{MN}{DE})^2=(\frac{4}{8})^2=\frac{1}{4}\)

Vậy ta cần điền vào ô trống là \(\frac{1}{4}\)

 

Hiển thị phần đáp án

Ta có:

IK//BC(giả thiết)

AH⊥BC(giả thiết)

⇒AH⊥IK (định lí từ vuông góc đến song song)

⇒\(\widehat{AOI}=90°\)

Xét △AOI và △AHC có:

\(\widehat{AOI}=\widehat{AHC}\) (vì cùng =90°)

\(\widehat{A}\) chung

⇒ △ AOI ∽ △ AHC (góc - góc)

⇒\(\frac{AO}{AH}=\frac{AI}{AC}=\frac{4}{4+6}=\frac{2}{5}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Vậy đáp án đúng là C. \(\frac{AO}{AH}=\frac{2}{5}\)

 

Hiển thị phần đáp án

Ta có:

MN//AC(giả thiết)

AB⊥AC(giả thiết)

⇒MN⊥AB (định lí từ vuông góc đến song song)

⇒\(\widehat{BMN}=90°\)

Xét △BMN và △BAC có:

\(\widehat{BMN}=\widehat{BAC}\) (vì cùng =90°)

\(\widehat{B}\) chung

⇒ △ BMN ∽ △ BAC (góc - góc)

⇒\(\frac{BM}{BA}=\frac{MN}{AC}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Hay \(\frac{6}{6+5}=\frac{9}{AC}\)

⇒AC=16,5(cm)

Vậy đáp án đúng là A. AC=16,5cm

 

Hiển thị phần đáp án

Ta có:

MN//AC(giả thiết)

AB⊥AC(giả thiết)

⇒MN⊥AB (định lí từ vuông góc đến song song)

⇒\(\widehat{BMN}=90°\)

Xét △BMN và △BAC có:

\(\widehat{BMN}=\widehat{BAC}\) (vì cùng =90°)

\(\widehat{B}\) chung

⇒ △ BMN ∽ △ BAC (góc - góc)

⇒\((\frac{BM}{BA})^2=\frac{S_{△MBN}}{S_{△ABC}}\) hay \(\frac{S_{△MBN}}{S_{△ABC}}=(\frac{6}{6+5})^2=\frac{36}{121} \)

Vậy ta cần điền vào ô trống là \(\frac{36}{121}\)

 

Hiển thị phần đáp án

△  ABC và △ DEF có:

\(\widehat{A}=\widehat{D}\) (cùng =90°)

\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}\) (vì \(\frac{3}{9}=\frac{5}{15}\))

⇒ △ vuông ABC ∽ △ vuông DEF (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Vậy ta chọn đáp án A. Đúng

 

Hiển thị phần đáp án

Xét △ vuông DKF và △ vuông DHE có:

\(\widehat{DKF}=\widehat{DHE}\) (cùng =90°)

\(\widehat{D}\) chung

⇒ △ DKF ∽ △ DHE (góc - góc)

⇒ \(\frac{DK}{DH}=\frac{DF}{DE}\)

⇒ DK.DE=DH.DF

Vậy đáp án đúng là A. DK.DE = DH.DF

 

Hiển thị phần đáp án

Ta có:

IK//AC (giả thiết)

AB⊥AC (giả thiết)

⇒ IK⊥AB (định lí từ vuông góc đến song song)

Hay \(\widehat{BIK}=90°\)

Xét △ vuông BIK và △ vuông BAC có:

\(\widehat{B}\) chung

⇒ △ vuông BIK ∽ △ vuông BAC (góc - góc)

⇒\((\frac{BI}{BA})^2=\frac{S_{△BIK}}{S_{△BAC}}\) hay \(\frac{S_{△BIK}}{S_{△BAC}}=(\frac{3}{9})^2=\frac{1}{9}\)

⇒\(S_{△BIK}=\frac{S_{△BAC}}{9}=\frac{54}{9}=6(cm^2)\)

Vậy đáp án đúng là C. \(S_{△IBK}=6(cm^2)\)

 

Hiển thị phần đáp án

Ta có:

\(\frac{BI}{IA}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{KB}{KC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)

⇒ \(\frac{BI}{IA}=\frac{KB}{KC}\)

⇒IK//AC (định lí Ta-lét đảo) (đáp án B đúng)

⇒\(\widehat{BIK}=\widehat{BAC}\) (cặp góc đồng vị)

Xét △IBK và △ABC có:

\(\widehat{BIK}=\widehat{BAC}\) (chứng minh trên)

\(\widehat{B}\) chung

⇒ △BIK ∽ △BAC (góc - góc) (đáp án A đúng)

⇒\(\begin{cases} \frac{S_{△IBK}}{S_{△ABC}}=(\frac{BI}{BA})^2=(\frac{3}{3+6})^2=\frac{1}{9} \\ \frac{IK}{AC}=\frac{BI}{AB}=\frac{3}{3+6}=\frac{1}{3} \end{cases}\)

Vậy những đáp án đúng là A, B, D

 

Hiển thị phần đáp án

Ta có:

\(\frac{5}{10}≠\frac{6}{14}\)

Nên hai tam giác vuông đó không đồng dạng với nhau

Vậy đáp án đúng là: B. Không đồng dạng

 

Hiển thị phần đáp án

Xét △ vuông ABC và △ vuông HAC có:

\(\widehat{BAC}=\widehat{AHC}\) (cùng =90°)

\(\widehat{C}\) chung

⇒ △ vuông ABC ∽ △ vuông HAC (góc - góc)

⇒ \(\frac{CA}{CH}=\frac{CB}{CA} \)(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ \(CA^2=CH.CB\)

Vậy đáp án đúng là B. \(CA^2=CH.CB\)

 

Hiển thị phần đáp án

ABCD là hình chữ nhật (giả thiết)⇒

\(\begin{cases} \widehat{BAD}=\widehat{ABC}=\widehat{C}=\widehat{D}=90° \\  AD=BC=5(cm)  \end{cases}\) (tính chất hình chữ nhật)

△ADM vuông tại D

⇒\(\widehat{DAM}+\widehat{AMD}=90°\) (hai góc phụ nhau)

Lại có: \(\widehat{BMC}+\widehat{AMD}=90°\)

⇒\(\widehat{DAM}=\widehat{BMC}\)

Xét △ vuông ADM và △ vuông MCB có:

\(\widehat{DAM}=\widehat{BMC}\) (chứng minh trên)

⇒ △ vuông ADM ∽ △ vuông MCB (góc - góc)

⇒ \(\frac{AD}{MC}=\frac{DM}{CB}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ \(MC=\frac{AD.CB}{DM}=\frac{5.5}{2}=12,5(cm)\)

Vậy đáp án đúng là B. MC=12,5cm

 

Hiển thị phần đáp án

+) △ vuông EDF ∽ △ vuông EHD (vì có chung \(\widehat{E}\))

⇒\(\frac{ED}{EH}=\frac{EF}{ED}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Hay \(\frac{ED}{9}=\frac{9+16}{ED}\)

⇒\(ED^2=9.25=225⇒ED=15(cm)\)

+) △ vuông EDF ∽△ vuông DHF (vì có chung \(\widehat{F}\))

⇒\(\frac{DF}{HF}=\frac{EF}{DF}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Hay \(\frac{DF}{16}=\frac{9+16}{DF}\)

⇒\(DF^2=16.25=400⇒DF=20(cm)\)

\(S_{△DEF}=\frac{DE.DF}{2}=\frac{15.20}{2}=150(cm^2)\)

Vậy đáp án đúng là D. \(S_{△DEF}=150(cm^2) \)

 

Hiển thị phần đáp án

+) △ABH vuông tại H (giả thiết)

⇒ \(\widehat{B}+\widehat{BAH}=90°\) (hai góc phụ nhau)

Lại có: \(\widehat{CAH}+\widehat{BAH}=\widehat{BAC}=90°\)

⇒\(\widehat{B}=\widehat{CAH}\)

+) Xét △ABH và △CAH có:

\(\widehat{B}=\widehat{CAH}\) (chứng minh trên)

\(\widehat{AHC}=\widehat{BHA}\) (cùng = 90°)

⇒ △ABH ∽ △CAH (góc - góc)

⇒ \(\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}\) (cặp cạnh tương ứng)

⇒ \(AH^2=BH.CH=4.9=36⇒AH=6(cm)\)

Vậy đáp án đúng là D. AH=6cm

 

Hiển thị phần đáp án

+) △ABH vuông tại H (giả thiết)

⇒ \(\widehat{B}+\widehat{BAH}=90°\) (hai góc phụ nhau)

Lại có: \(\widehat{CAH}+\widehat{BAH}=\widehat{BAC}=90°\)

⇒\(\widehat{B}=\widehat{CAH}\)

+) Xét △ABH và △CAH có:

\(\widehat{B}=\widehat{CAH}\) (chứng minh trên)

\(\widehat{AHC}=\widehat{BHA}\) (cùng = 90°)

⇒ △ABH ∽ △CAH (góc - góc)

⇒ \(\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}\) (cặp cạnh tương ứng)

⇒\( AH^2=BH.CH=4.9=36⇒AH=6 (cm)\)

+) △ABH vuông tại H (giả thiết)

⇒\(AH^2+BH^2=AB^2\) (định lí py-ta-go)

⇒\(AB^2=6^2+4^2=52⇒AB=2\sqrt{13}(cm)\)

Vậy số cần điền vào ô trống là \(2\sqrt{13}\)

 

Hiển thị phần đáp án

Đáp án đúng là: A. Đồng dạng 

 

Hiển thị phần đáp án

+) BD, CE lần lượt là đường cao của △ABC (giả thiết)

⇒\(\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90°\)

+) Xét△ vuông ABD và △ vuông ACE có:

\(\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90°\) (chứng minh trên)

\(\widehat{A}\) chung

⇒ △ vuông ABD ∽ △ vuông ACE (góc - góc)

⇒\(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)

+) Xét △ADE và △ABC có:

\(\widehat{A}\) chung

\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\) (chứng minh trên)

⇒△ADE ∽ △ABC (cạnh-góc-cạnh)

⇒\(\widehat{AED}=\widehat{ACB}\) (cặp góc tương ứng)

Mà \(\widehat{ACB}=60°\) (giả thiết)

⇒\(\widehat{AED}=60°\)

Vậy đáp án đúng là B. \(\widehat{AED}=60°\)

 

Hiển thị phần đáp án

Xét △ vuông AHB và △ vuông CHA có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\) (cùng =90°)

\(\frac{HB}{HA}=\frac{HA}{HC}\) (vì \(\frac{3}{6}=\frac{6}{12} \))

⇒ △ vuông AHB∽ △ vuông CHA (cạnh-góc-cạnh) (đáp án A sai, đáp án B đúng)

⇒ \(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\) (cặp góc tương ứng) (đáp án C đúng)

Lại có: \(\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90°\) (hai góc phụ nhau trong △ vuông AHC)

⇒ \(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}=90°\) hay \(\widehat{BAC}=90°\) (đáp án D đúng)

Vậy những đáp án đúng là A, C, D

 

Hiển thị phần đáp án

Ta có: \(3^2+4^2=9+16=25=5^2\)

⇒\(AB^2+AC^2=BC^2\)

⇒△ABC vuông tại A (định lí Py-ta-go đảo)

⇒\(\widehat{BAC}=90°\)

Lại có: △ABC ∽△A′B′C′ (giả thiết)

⇒\(\widehat{BAC}=\widehat{B′A′C′}=90°\) (cặp góc tương ứng)

⇒△A′B′C′ vuông tại A′

⇒\(S_{△A′B′C′}=\frac{A′B′.A′C′}{2}\) (1)

Gọi k là hệ số đồng dạng của △ABC và △A′B′C′ (k>0)

⇒A′B′=3k;A′C′=4k;B′C′=5k (2)

Từ (1) và (2) ⇒\(S_{△A′B′C′}=\frac{3k.4k}{2}=6k^2\)

Lại có: \(S_{△A′B′C′}=54cm^2\)

⇒\(6k^2=54⇒k^2=9⇒k=3\)

⇒A′B′=3.3=9(cm);A′C′=4.3=12(cm);B′C′=5.3=15(cm)

Chu vi △A′B′C′ là: 9+12+15=36 (cm)

Vậy đáp án đúng là C. 36cm

 

Hiển thị phần đáp án

Kẻ HI⊥AC (I∈AC)

Đặt AK=x,KC=y

\(\frac{S_{△AHK}}{S_{△CHK}}=\frac{\frac{HI.AK}{2}}{\frac{HI.KC}{2}}=\frac{AK}{KC}=\frac{x}{y}\)

△ABC có: HK//AB (giả thiết)

⇒ △CHK ∽△CBA

⇒\(\frac{S_{△CHK}}{S_{△CBA}}=(\frac{CK}{CA})^2=(\frac{y}{x+y})^2\)

\(\frac{S_{△AHK}}{S_{△ABC}}=\frac{S_{△AHK}}{S_{△CHK}}.\frac{S_{△CHK}}{S_{△ABC}}=\frac{x}{y}.(\frac{y}{x+y})^2=\frac{xy}{(x+y)^2}\) (1)

Mà \(S_{△AHK}=\frac{3}{16}S_{△ABC}\) (giả thiết)

⇒\(\frac{S_{△AHK}}{S_{△ABC}}=\frac{3}{16}\) (2)

Từ (1) và (2) ⇒\(\frac{xy}{(x+y)^2}=\frac{3}{16}\)

⇔\(3(x+y)^2=16xy\)

⇔\(3x^2+3y^2−10xy=0\)

⇔\(3x^2−9xy−xy+3y^2=0\)

⇔3x(x−3y)−y(x−3y)=0

⇔(3x−y)(x−3y)=0

⇔\(\left[ \begin{array} \ 3x−y &=&0 \\ x−3y &=&0 \end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array} \ \frac{x}{y} &=& \frac{1}{3} \\ \frac{x}{y} &=&3 \end{array} \right.\)

Vậy \(\frac{AK}{KC}=\frac{1}{3}\) hoặc \(\frac{AK}{KC}=3\)

Đáp án đúng là D. \(\frac{AK}{KC}=\frac{1}{3}\) hoặc \(\frac{AK}{KC}=3\)

 

Hiển thị phần đáp án

Ta có: BC=BH+HC=9+16=25 (cm)

Xét △ vuông ABC và △ vuông HAC có:

\(\widehat{C}\) chung

⇒ △ vuông ABC ∽ △ vuông HAC (góc-góc)

⇒\(\frac{AC}{HC}=\frac{BC}{AC}\)

⇒\(AC^2=BC.HC=25.16⇒AC=20\)

Tương tự chứng minh được: △ABC ∽ △HBA (góc-góc)

⇒\(\frac{AB}{HB}=\frac{BC}{BA}\)

⇒\(AB^2=BC.HB=25.9⇒AB=15\)

\(S_{△ABC}=\frac{AB.AC}{2}=\frac{15.20}{2}=150 (cm^2)\)

Vậy số cần điền vào ô trống là 150

 

Hiển thị phần đáp án

+) △ABH có:

\(\widehat{ABC}=\widehat{BAH}+\widehat{AHB}\) (tính chất góc ngoài tam giác)

⇒\(\widehat{ABC}=\widehat{BAH}+90°\) (1)

Lại có: \(\widehat{ABC}−\widehat{ACB}=90°\) (giả thiết)

⇒\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}+90°\) (2)

Từ (1) và (2) ⇒\(\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\) hay \(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\)

Xét △ vuông ABH và △ vuông CAH có:

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\) (chứng minh trên)

⇒ △ vuông ABH ∽ △ vuông CAH (góc-góc)

⇒\(\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒\(AH^2=BH.CH\)

Vậy dấu cần điền vào ô trống là "= "

 

Hiển thị phần đáp án

Ta có: \(\frac{S_{△AHB}}{S_{△CHA}}=\frac{\frac{AH.HB}{2}}{\frac{AH.HC}{2}}=\frac{HB}{HC}\) (1)

Xét △ vuông AHB và △ vuông CHA có:

\(\widehat{ABH}=\widehat{HAC}\) (cùng phụ \(\widehat{BAH}\) )

⇒ △ vuông AHB ∽ △ vuông CHA (góc-góc)

⇒\(\frac{S_{△AHB}}{S_{△CHA}}=(\frac{AB}{AC})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}\) (2)

Từ (1) và (2) ⇒\(\frac{HB}{HC}=\frac{4}{9}\)

Vậy đáp án đúng là B. \(\frac{HB}{HC}=\frac{4}{9}\)

 

Hiển thị phần đáp án

△ABC  vuông tại A (giả thiết)

⇒\(AB^2+AC^2=BC^2\) (định lí Py-ta-go)

⇒\(BC^2=9^2+12^2=225⇒BC=15(cm)\)

Xét △ vuông AHB và △ vuông CBA có:

\(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\) (cùng phụ \(\widehat{HAB}\) )

⇒ △ vuông AHB ∽ △ vuông CAB (góc-góc)

⇒\(\frac{AB}{CB}=\frac{HB}{AB}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒\(HB=\frac{AB^2}{CB}=\frac{9^2}{15}=5,4(cm)\) hay x=5,4cm

Lại có: x+y=BC=15⇒y=15−x=15−5,4=9,6(cm)

Vậy các số cần điền vào ô trống là 5,4 ; 9,6

 

Hiển thị phần đáp án

Tứ giác AIHK có:

\(\widehat{A}=\widehat{I}=\widehat{K}=90°\) (giả thiết)

⇒ Tứ giác AIHK là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

Gọi O là giao điểm của AH và IK

⇒ OA=OH=OI=OK(tính chất hình chữ nhật)

⇒ Tam giác AOI cân tại O (tính chất)

⇒ \(\widehat{OIA}=\widehat{OAI}\) (định nghĩa) (1)

Lại có: \(\widehat{OAI}+\widehat{HAC}=90°\) và \(\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90°\)

⇒ \(\widehat{OAI}=\widehat{HCA}\) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ \(\widehat{OIA}=\widehat{HCA} \) hay \(\widehat{AIK}=\widehat{ACB}\) (đáp án C đúng)

Xét △ vuông AIK và △ vuông ACB có:

\(\widehat{AIK}=\widehat{ACB}\) (chứng minh trên)

⇒ △ vuông AIK ∽ △ vuông ACB (góc - góc) (đáp án A đúng)

⇒ \(\frac{S_{△AIK}}{S_{△ACB}}=(\frac{IK}{BC})^2=(\frac{AH}{BC})^2\)

⇒ \(S_{△AIK}=(\frac{AH}{BC})^2.S_{△ACB}\)

Lại có: \(S_{△ACB}=\frac{1}{2}.BC.AH=\frac{1}{2}.10.4=20(cm^2)\) (đáp án D sai)

⇒ \(S_{△AIK}=(\frac{4}{10})^2.20=3,2(cm^2)\) (đáp án B đúng)

Vậy những đáp án đúng là A, B, C

 

Hiển thị phần đáp án

Xét △ vuông HAB và △ vuông HCA có:

\(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\) (cùng phụ \(\widehat{HAB}\))

⇒ △ vuông HAB ∽ △ vuông HCA (góc-góc)

⇒\(\frac{HA}{HC}=\frac{HB}{HA} \)(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒\(HA^2=HB.HC=9.16=144⇒HA=12(cm)\)

△ABH vuông tại H (giả thiết)

⇒\(AH^2+BH^2=AB^2\) (định lí Py-ta-go)

⇒\(AB^2=12^2+9^2=225⇒AB=15(cm)\)

△ACH vuông tại H (giả thiết)

⇒\(AH^2+CH^2=AC^2\) (định lí Py-ta-go)

⇒\(AC^2=12^2+16^2=400⇒AC=20(cm)\)

△ABC vuông tại A (giả thiết)

⇒\(AB^2+AC^2=BC^2\) (định lí Py-ta-go)

⇒\(BC^2=15^2+20^2=625⇒BC=25(cm)\)

Vậy các số cần điền vào ô trống là 15; 20; 25