Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:
11+62√=2+62√+9=(2√)2+2.3.2√+32=(2√+3)2$11+6\sqrt{2}=2+6\sqrt{2}+9={\left(\sqrt{2}\right)}^2+\mathrm{2.3.}\sqrt{2}+3^2={(\sqrt{2}+3)}^2$

Hướng dẫn:
Bước 1: Biến đổi từ hỗn số về phân số
Bước 2: Với a≥0$a\ge 0$ thì a2−−√=a$\sqrt{a^2}=a$
Bài giải
Ta có:
2849−−−−√=28.9+49−−−−−−−√=2569−−−−√=(163)2−−−−−−√=163$\sqrt{28{\displaystyle \frac{4}{9}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{28.9+4}{9}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{256}{9}}}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{16}{3}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{16}{3}}$
Vậy số cần điền là 163${\displaystyle \frac{16}{3}}$

Hướng dẫn:
Bước 1:Tách 15=25−10$15=25-10$. Biến đổi biểu thức A=a−10a√+15=(a√−5)2−10$A=a-10\sqrt{a}+15=(\sqrt{a}-5{)}^2-10$
Bước 2: Đánh giá giá trị nhỏ nhất của biểu thức A$A$.
Bài giải:
Với a≥0$a\ge 0$, ta có:
A=a−10a√+15$A=a-10\sqrt{a}+15$
=(a√)2−2.a√.5+52−10$=(\sqrt{a}{)}^2-2.\sqrt{a}.5+5^2-10$
=(a√−5)2−10$={(\sqrt{a}-5)}^2-10$
Vì (a√−5)2≥0${(\sqrt{a}-5)}^2\ge 0$ với mọi a≥0$a\ge 0$
nên A=(a√−5)2−10≥−10$A={(\sqrt{a}-5)}^2-10\ge -10$
Do đó, Amin=−10⇔(a√−5)2=0⇔a√=5⇔a=25$$\begin{gathered} A_{min}=-10 \\ \iff {(\sqrt{a}-5)}^2=0 \\ \iff \sqrt{a}=5 \\ \iff a=25 \end{gathered}$$
Vậy cần điền vào ô trống để Amin=−10$A_{min}=-10$ khi a=25$a=25$

Câu 7: Điền số thích hợp vào ô trống

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $2{\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{17}{7}}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{17}{7}}\right)}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{289}{49}}}$
Vậy số cần điền là

${\displaystyle \frac{289}{49}}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn:
Bước 1: Biến đổi biểu thức A$A$ về dạng A=b−$A=b-[f(a){]}^2$
Bước 2: Đánh giá A$A$ để tìm giá trị lớn nhất.
Bài giải:
Với a≥0,$a\ge 0,$ ta có:
A=−a+6a√−1=−(a−6a√+1)=−[(a√)2−2.3a√+32−32+1]=−[(a√−3)2−8]=8−(a√−3)2$\begin{array}{rl}A& =-a+6\sqrt{a}-1\\ & =-(a-6\sqrt{a}+1)\\ & =-[(\sqrt{a}{)}^2-2.3\sqrt{a}+3^2-3^2+1]\\ & =-[{(\sqrt{a}-3)}^2-8]\\ & =8-{(\sqrt{a}-3)}^2\end{array}$
Vì −(a√−3)2≤0$-{(\sqrt{a}-3)}^2\le 0$ với mọi a≥0$a\ge 0$ nên
A=8−(a√−3)2≤8$A=8-{(\sqrt{a}-3)}^2\le 8$ với mọi a≥0$a\ge 0$
Do đó Amax=8⇔(a√−3)2=0⇔a√=3⇔a=9$$\begin{gathered} A_{max}=8 \\ \iff {(\sqrt{a}-3)}^2=0 \\ \iff \sqrt{a}=3 \\ \iff a=9 \end{gathered}$$
Vậy để Amax=8$A_{max}=8$ khi a=9$a=9$
Vậy các số cần điền vào ô trống lần lượt là 8;9.$8;9.$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn:
Bước 1: Biến đổi biểu thức A$A$ về dạng A=b−[f(a)]2$A=b-[f(a){]}^2$
Bước 2: Đánh giá A$A$ để tìm giá trị lớn nhất.
Bài giải:
Với a≥0,$a\ge 0,$ ta có
A=−4a+8a√+3=−(4a−8a√−3)=−[(2a√−2)2−7]=7−(2a√−2)2$\begin{array}{rl}A& =-4a+8\sqrt{a}+3\\ & =-(4a-8\sqrt{a}-3)\\ & =-[{(2\sqrt{a}-2)}^2-7]\\ & =7-{(2\sqrt{a}-2)}^2\end{array}$
Vì −(2a√−2)2≤0$-{(2\sqrt{a}-2)}^2\le 0$ với mọi a≥0$a\ge 0$ nên A=7−(2a√−2)2≤7$A=7-{(2\sqrt{a}-2)}^2\le 7$với mọi a≥0$a\ge 0$
Do đó Amax=7⇔(2a√−2)2=0⇔a√=1⇔a=1$$\begin{gathered} A_{max}=7 \\ \iff {(2\sqrt{a}-2)}^2=0 \\ \iff \sqrt{a}=1 \\ \iff a=1 \end{gathered}$$
Vậy để Amax=7$A_{max}=7$ khi a=1$a=1$
Vậy các số cần điền vào ô trống lần lượt là 7;1.$7;1.$

Câu 10: Điền dấu >,<,= thích hợp vào ô trống sau

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn:
Biến đổi về so sánh −223−−√$1-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{23}}}$ và −25$1-{\displaystyle \frac{2}{5}}$
Bài giải:
Ta có:
225−−√${\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{25}}}$
Vì 23−−√
$\sqrt{23}<\sqrt{25}\Rightarrow {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{25}}}<{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{23}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{2}{5}}<{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{23}}}$
Suy ra
35$1-{\displaystyle \frac{2}{5}}>1-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{23}}}\Rightarrow 1-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{23}}}<{\displaystyle \frac{3}{5}}$
Vậy dấu cần điền là <$<$