Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B. 21

Ta có u, v là hai nghiệm của phương trình x2−15x+36=0$x^2-15x+36=0$.

Phương trình có Δ=81>0$\mathrm{\Delta }=81>0$ suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1=12,x2=3$x_1=12,x_2=3$.

Mà u > v nên u=12,v=3$u=12,v=3$.

Vậy S = 2u – v = 2 . 12 – 3 = 21.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D. A là số nguyên, B là số nguyên.

Ta có:

$a+b=\sqrt{11+6\sqrt{2}}+\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{(3+\sqrt{2}{)}^2}+\sqrt{(3-\sqrt{2}{)}^2}=6$

$a.b=\sqrt{11+6\sqrt{2}}.\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{{11}^2-(6\sqrt{2}{)}^2}=7$

Suy ra a,b$a,b$ là hai nghiệm của phương trình x2−6x+7=0$x^2-6x+7=0$.

Suy ra A = –6 là số nguyên, B = 7 là số nguyên.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A. 0

Vì x, y có tổng bằng 4 và tổng bình phương bằng 10 nên 

{x+y=4x2+y2=10$\{\begin{array}{l}x+y=4\\ x^2+y^2=10\end{array}$ hay {x+y=4$x+y)2−2xy=10$\{\begin{array}{l}x+y=4\mathrm{\$}x+y{)}^2-2xy=10\end{array}$ hay {x+y=4xy=3$\{\begin{array}{l}x+y=4\\ xy=3\end{array}$

Khi đó x, y là hai nghiệm của phương trình x2−4x+3=0$x^2-4x+3=0$.

Phương trình có a+b+c=0$a+b+c=0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là 1 và 3.

Mà x < y nên x = 1; y = 3.

Vậy S = 3x – y = 3 . 1 – 3 = 0.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. 
$x^2-{\displaystyle \frac{m^2-18}{9}}.x+1=0$

Ta có: Δ=m2−36$\mathrm{\Delta }=m^2-36$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm x1,x2$x_1,x_2$ khi và chỉ khi m2−36>0$m^2-36>0$ hay |m|>6$|m|>6$.

Khi đó theo hệ thức Viet ta có: {x1+x2=mx1.x2=9$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m\\ x_1.x_2=9\end{array}$.

Lại có: 
x21+x22x1x2${\displaystyle \frac{x_1}{x_2}}+{\displaystyle \frac{x_2}{x_1}}={\displaystyle \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1{x}_2}}$ 
(x1+x2)2−2x1x2x1x2$={\displaystyle \frac{(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2}{x_1{x}_2}}$ 
$={\displaystyle \frac{m^2-18}{9}}$; x1x2
${\displaystyle \frac{x_1}{x_2}}.{\displaystyle \frac{x_2}{x_1}}=1$

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm x1x2;x2x1${\displaystyle \frac{x_1}{x_2}};{\displaystyle \frac{x_2}{x_1}}$ là x2
$x^2-{\displaystyle \frac{m^2-18}{9}}.x+1=0$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A. 3

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi Δ′0${\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}=1-(2-m)=m-1\ge 0$ hay m≥1$m\ge 1$.

Theo hệ thức Viet ta có x1+x2=2,x1.x2=2−m$x_1+x_2=2,x_1.x_2=2-m$.

Khi đó 34$A=x_1^2{x}_2^2+3(x_1^2+x_2^2)-4$ =x21x22+)2−6x1x2−4$=x_1^2{x}_2^2+3(x_1+x_2{)}^2-6x_1{x}_2-4$

=$=(2-m{)}^2+{3.2}^2-6(2-m)-4$ =+9−1$=(2-m{)}^2-6(2-m)+9-1$ =m+1)2−1$=(m+1{)}^2-1$

Do m≥1$m\ge 1$ nên $(m+1{)}^2\ge 4$ suy ra A−1=3$A\ge 4-1=3$ khi và chỉ khi m = 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. –6030

Ta có: 
${\mathrm{\Delta }}_1={2013}^2-4.2>0,{\mathrm{\Delta }}_2={2014}^2-4.2>0$ nên hai phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viet ta có: {x1+x2=−2013x1.x2=2$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2013\\ x_1.x_2=2\end{array}$; {x3+x4=−2014x3.x4=2$\{\begin{array}{l}{x}_3+x_4=-2014\\ x_3.x_4=2\end{array}$

Ta có: x4=x21−2014x1+2$(x_1+x_3)(x_1+x_4)=x_1^2+x_1(x_3+x_4)+x_3{x}_4=x_1^2-2014x_1+2$

Mà x21+2013x1+2=0$x_1^2+2013x_1+2=0$ nên x21+2=−2013x1$x_1^2+2=-2013x_1$ suy ra 27x1$(x_1+x_3)(x_1+x_4)=-4027x_1$.

Lại có:x4=x22+2014x2+2$(x_2-x_3)(x_2-x_4)=x_2^2-x_2(x_3+x_4)+x_3{x}_4=x_2^2+2014x_2+2$

Mà x22+2013x2+2=0$x_2^2+2013x_2+2=0$ nên x22+2=−2013x2$x_2^2+2=-2013x_2$ suy ra =x2$(x_2-x_3)(x_2-x_4)=x_2$.

Khi đó A+2024$A=(x_1+x_3)(x_2-x_3)(x_1+x_4)(x_2-x_4)+2024$

=−4027x1x2+2024$=-4027x_1{x}_2+2024$ =−8054+2024=−6030$=-8054+2024=-6030$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D. X2−5X−7=0$X^2-5X-7=0$

Ta có: Δ=5>0$\mathrm{\Delta }=5>0$ nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viet ta có: x1+x2=1,x1.x2=−1$x_1+x_2=1,x_1.x_2=-1$.

Xét các tổng và tích sau:

♦ 
$2x_1+x_2^2+2x_2+x_1^2=2(x_1+x_2)+(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=2.1+1^2-2.(-1)=5$

♦$(2x_1+x_2^2).(2x_2+x_1^2)=4x_1{x}_2+x_1^2{x}_2^2+2(x_1^3+x_2^3)$

=4x1x2+x21x22+$=4x_1{x}_2+x_1^2{x}_2^2+2(x_1+x_2{)}^3+6x_1{x}_2(x_1+x_2)$ =$=4.(-1)+(-1{)}^2+{2.1}^3+6.(-1).1=-7$

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1+x22$2x_1+x_2^2$ và 2x2+x21$2x_2+x_1^2$ là X2−5X−7=0$X^2-5X-7=0$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B. 
32$m>{\displaystyle \frac{3}{2}}$

Ta có: $$∀Δ′=(m−2)2+2>0,∀m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo Viet ta có {x1+x2=2(m−1)x1.x2=2m−5$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2(m-1)\\ x_1.x_2=2m-5\end{array}$.