Đường phân giác
A: Bài tập cơ bản
Câu 1: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D. Khi đó đoạn thẳng AD được gọi là ?
A. đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A
B. đường phân giác ứng với cạnh BC
C. đường phân giác xuất phát từ đỉnh B
D. đường phân giác xuất phát từ đỉnh A
Cho tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D. Khi đó đoạn thẳng AD được gọi là
D. đường phân giác xuất phát từ đỉnh A
Câu 2: Chọn đáp án đúng nhất
Mỗi tam giác có bao nhiêu đường phân giác?
A. 1
B. 2
C. 3
Mỗi tam giác có ba đường phân giác xuất phát từ ba đỉnh của nó.
Đáp án đúng là C. 3
Câu 3: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABC như hình vẽ, biết \(\widehat{ABD}=\widehat{CBD}\). Khi đó đoạn thẳng BD là ?
A. đường phân giác xuất phát từ đỉnh A
B. đường phân giác xuất phát từ đỉnh B
C. đường phân giác xuất phát từ đỉnh C
D. đường phân giác xuất phát từ đỉnh D
Vì \( \widehat{ABD}=\widehat{CBD}\) nên BD là tia phân giác của góc B.
Vì BD cắt AC tại D nên đoạn BD là đường phân giác xuất phát từ đỉnh B
Đáp án đúng là B. đường phân giác xuất phát từ đỉnh B
Câu 4: Chọn hình ảnh đúng nhất.
Hình nào dưới đây thể hiện đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC?
Hình thể hiện đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC là B.
Câu 5: Lựa chọn đáp án đúng nhất
Cho △MNP, các đường phân giác MD;NE cắt nhau ở I. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
A. Điểm I cách đều 3 đỉnh của tam giác
B. Điểm I cách đều 3 cạnh của tam giác
C. MI=\(\frac{2}{3}\)MD
Theo tính chất ba đường phân giác của tam giác thì:
Ba đường phân giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó
Vậy đáp án đúng là: B
Câu 6: Chọn các khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Điểm cách đều hai đường thẳng chứa hai cạnh của một góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
B. Điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác là giao điểm ba đường phân giác của tam giác đó
C. Điểm cách đều ba đường thẳng chứa ba cạnh của một tam giác luôn nằm trong tam giác đó.
D. Điểm nằm trên đường phân giác của góc thì cách đều hai cạnh của góc
A - SAI theo tính chất tia phân giác của góc (điểm đó phải nằm bên trong góc)
B - ĐÚNG theo tính chất ba đường phân giác trong tam giác
C - ĐÚNG
D - ĐÚNG theo tính chất tia phân giác của góc
B: Bài tập trung bình
Câu 1: Chọn đáp án đúng nhất
Phát biểu nào sau đây là nội dung của định lí về sự đồng quy của ba đường phân giác trong một tam giác?
A. Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác.
B. Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.
C. Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại hai điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác.
D. Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này không cách đều ba cạnh của tam giác.
Nội dung của định lí về sự đồng quy của ba đường phân giác trong một tam giác là:
A. Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác.
Câu 2: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABC có hai đường phân giác AM và BN đồng quy tại điểm I. Khi đó CI là
A. đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh C
B. đường cao xuất phát từ đỉnh C
C. đường trung trực ứng với cạnh AB
D. đường phân giác xuất phát từ đỉnh C
Vì ba đường phân giác trong tam giác đồng quy tại một điểm mà hai đường phân giác AM và BN đồng quy tại điểm I.
nên CI là D. đường phân giác xuất phát từ đỉnh C
Câu 3: Chọn những đáp án đúng
Gọi I là giao điểm ba đường phân giác trong tam giác MNP. Khi đó
A. I cách đều ba cạnh MN, MP, NP
B. MI là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh M
C. PI là đường phân giác xuất phát từ đỉnh P
D. IM = IN = IP
Ta có hình vẽ:
Vì I là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác MNP nên
A. I cách đều ba cạnh MN, MP, NP đúng
B. MI là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh M sai
C. PI là đường phân giác xuất phát từ đỉnh P đúng
D. IM = IN = IP sai
Các đáp án đúng là A. I cách đều ba cạnh MN, MP, NP
C. PI là đường phân giác xuất phát từ đỉnh P
Câu 4: Chọn hình ảnh đúng nhất.
Hình nào thể hiện G là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác MNP?
Hình thể hiện G là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác MNP là: B.
Câu 5: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác MNP vuông tại M. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác MNP. Tính số đo các góc \(\widehat{IMP}\) và \(\widehat{IMN}\).
A. \(\widehat{IMP}=45º ; \widehat{IMN}=45º\)
B. \(\widehat{IMP}=60º ; \widehat{IMN}=30º\)
C. \(\widehat{IMP}=30º ; \widehat{IMN}=60º\)
D. \(\widehat{IMP}=45º ; \widehat{IMN}=90º\)
Ta có hình vẽ:
Vì tam giác MNP vuông ở M nên \(\widehat{M}=90º\) hay \(\widehat{PMN}=90º\)
Vì I là giao điểm của ba đường phân giác nên MI là đường phân giác xuất phát từ đỉnh M.
Do đó MI là tia phân giác của \(\widehat{PMN}\).
Suy ra \(\widehat{IMP} = \widehat{IMN} = \frac{1}{2}.\widehat{PMN}=\frac{1}{2}.90º=45º\)
Đáp án đúng là A. \(\widehat{IMP}=45º ; \widehat{IMN}=45º\)
Câu 6: Lựa chọn đáp án đúng nhất
Gọi I là giao điểm ba đường phân giác trong tam giác DEF đều. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
A. Giao điểm DI với EF là M thì DM là đường phân giác và là đường trung tuyến ứng với cạnh EF
B. Gọi giao điểm DI với EF là M thì IM=\(\frac{2}{3}\)DM
C. I là trọng tâm tam giác DEF
D. I cách đều 3 cạnh của tam giác
▶ A - Đúng vì:
Xét △FDM và △EDM có:
DF=DE(△DEFđều)
\(\widehat{FDM}=\widehat{EDM}\)(gt)
DMchung
⇒ △FDM=△EDM (c.g.c)
⇒ EM=FM hay DM là trung tuyến ứng với cạnh EF
▶B - SAI vì:
Theo câu trên DM là trung tuyến
Chứng minh tương tự ta có FI và EI cũng là trung tuyến của tam giác DEF
⇒ I là trọng tâm tam giác DEF
Theo tính chất trọng tâm: DI=\(\frac{2}{3}\)DM
⇒ IM=\(\frac{1}{3}\)DM
▶ C - Đúng (cmt)
▶ D - Đúng theo tính chất ba đường phân giác trong tam giác
Vậy đáp án sai là: B
C: Bài tập nâng cao
Câu 1: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABD, có BO và DO là các đường phân giác. Biết \(\widehat{D_1}=30º ; \widehat{B_2}=20º\). Tính số đo các góc \(\widehat{A_1} ; \widehat{O_1}\)
A. \(\widehat{A_1}=80º ; \widehat{O_1}=110º\)
B. \(\widehat{A_1}=40º ; \widehat{O_1}=110º\)
C. \(\widehat{A_1}=40º ; \widehat{O_1}=100º\)
D. \(\widehat{A_1}=50º ; \widehat{O_1}=110º\)
Vì BO là đường phân giác của góc ABD nên \(\widehat{ABD}=2.\widehat{B_2}=2 . 20º=40º\)
Vì DO là đường phân giác của góc ADB nên \(\widehat{ADB}=2.\widehat{D_1}=2 . 30º=60º\)
Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABD, ta có:
\(\widehat{BAD} +\widehat{ABD}+\widehat{ADB}=180º\)
\(\widehat{BAD} +40º+60º=180º\). Suy ra \(\widehat{BAD}=80º\)
Vì BO và DO là các đường phân giác nên AO là đường phân giác của \(\widehat{BAD}\)
Suy ra \(\widehat{A_1}=\frac{1}{2}.\widehat{BAD}=\frac{1}{2}.80º=40º\)
Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác AOD, ta có:
\(\widehat{O_1}+\widehat{A_1}+\widehat{D_1}=180º\)
\(\widehat{O_1}+40º+30º=180º\). Suy ra \(\widehat{O_1}=110º\)
Vậy đáp án đúng là B. \(\widehat{A_1}=40º ; \widehat{O_1}=110º\)
Câu 2: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABC có BC > AC > AB. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác ABC. Gọi H, K, M lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ I xuống các cạnh BC, CA, AB. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?
A. IH = IK = IM
B. IH > IK > IM
C. IK > IH > IM
D. IM > IH > IK
Vì H, K, M lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ I xuống các cạnh BC, CA, AB nên IH, IK, IM lần lượt là khoảng cách từ I đến các cạnh BC, CA, AB.
Vì I là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác ABC nên I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
Suy ra IH = IK = IM
Đáp án đúng là A. IH = IK = IM
Câu 3: Chọn đáp án đúng nhất
Chọn câu sai:
A. Ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm.
B. Giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác gọi là trọng tâm của tam giác.
C. Giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác cách đều ba cạnh của tam giác.
D. Mỗi tam giác có ba đường phân giác trong.
A. Ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm. (đúng)
B. Giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác gọi là trọng tâm của tam giác. (sai vì trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến)
C. Giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác cách đều ba cạnh của tam giác.(đúng)
D. Mỗi tam giác có ba đường phân giác trong. (đúng)
Đáp án cần chọn là B. Giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác gọi là trọng tâm tam giác.
Câu 4: Chọn đáp án đúng nhất
Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác MNP. Tính số đo góc NIP, biết góc NMP bằng 116°.
A. \(\widehat{NIP}=116°\)
B. \(\widehat{NIP}=144°\)
C. \(\widehat{NIP}=148°\)
D. \(\widehat{NIP}=128°\)
Ta có hình vẽ:
Vì I là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác MNP nên MI, NI, PI lần lượt là các đường phân giác của các góc \(\widehat{NMP}\) ; \(\widehat{MNP}\) và \(\widehat{NPM}\).
Suy ra \(\widehat{N_1}=\frac{1}{2}\widehat{MNP}\) và \(\widehat{P_1}=\frac{1}{2}\widehat{NPM}\)
Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác MNP có:
\(\widehat{NMP} + \widehat{MNP} + \widehat{NPM} = 180°\)
Suy ra \(\widehat{MNP} + \widehat{NPM} = 180° – \widehat{NMP} = 180° – 116° = 64°\)
Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác INP có:
\(\widehat{N_1}+\widehat{P_1}+\widehat{NIP}=180°\)
\( \frac{1}{2}\widehat{MNP} + \frac{1}{2}\widehat{NPM} + \widehat{NIP}=180°\)
\(\frac{1}{2}.(\widehat{MNP}+\widehat{NPM})+\widehat{NIP}=180°\)
\(\frac{1}{2}.64°+\widehat{NIP}=180°\)
Suy ra \(\widehat{NIP}=180°−\frac{1}{2}.64°=148°\)
Vậy đáp án là C. \(\widehat{NIP}=148°\)
Câu 5: Điền dấu thích hợp vào chỗ trống
Cho tam giác ABC, tia phân giác góc A cắt cạnh BC ở D. Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC ở M. Tính \(\widehat{AMD}\) biết \(\widehat{A}=60°\).
Đáp án là: \(\widehat{AMD}\)= …..
▶ Vì AD là tia phân giác \(\widehat{A}\) nên \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (định nghĩa) (1)
Mặt khác DM//AB (gt) nên \(\widehat{A_1}=\widehat{D_1}\) (so le trong) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ \(\widehat{A_2}=\widehat{D_1}\)
△AMD có \(\widehat{A_2}=\widehat{D_1}\) nên △AMD cân tại M
Ta có: \(\widehat{AMD}+\widehat{A_2}+\widehat{D_1}=180°\) (tổng ba góc trong △AMD)
⇒\(\widehat{AMD}=180°−(\widehat{A_2}+\widehat{D_1})\)\(=180°−(\widehat{A_2}+\widehat{A_2})(vì \widehat{A_2}=\widehat{D_1})\)
\(=180°−\widehat{A}(vì \widehat{A_1}=\widehat{A_2})\)
\(=180°−60°\)
\(=120°\)
Vậy đáp cần điền là: 120°
Câu 6: Điền đáp án thích hợp vào chỗ trống
Cho tam giác ABC, đường phân giác của góc A và đường phân giác của góc B cắt nhau tại O. Qua O kẻ EF//BC (E∈AB;F∈AC)
Khi đó: BE+CF= …..
▶ Xét △BOE có:
\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) (giả thiết)
\(\widehat{O_1}=\widehat{B_2}\) (so le trong)
\(⇒ \widehat{B_1}=\widehat{O_1}\)
⇒ △BEO cân tại E
⇒ BE=EO (định nghĩa tam giác cân) (1)
▶ Xét △CFO có:
\(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\) (giả thiết)
\(\widehat{O_2}=\widehat{C_2}\) (so le trong)
⇒ \(\widehat{O_2}=\widehat{C_1}\)
⇒ △OFC cân tại F (tính chất)
⇒ OF=FC (định nghĩa tam giác cân) (2)
Từ (1) và (2)⇒ BE+FC=EF
Vậy đáp cần điền là: EF