Đường trung trực, đường cao của tam giác
A: Bài tập cơ bản
Câu 1: Chọn đáp án đúng nhất
Chọn phát biểu đúng nhất
A. Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm.
B. Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm.
C. Cả A và B đều đúng.
D. Cả A và B đều sai
Đáp án đúng là C. Cả A và B đều đúng.
Câu 2: Chọn đáp án đúng nhất
Giao điểm của ba đường trung trực của một tam giác thì cách đều
A. ba đỉnh của tam giác
B. ba cạnh của tam giác
Giao điểm của ba đường trung trực của một tam giác thì cách đều ba đỉnh của tam giác.
Đáp án đúng là A. ba đỉnh của tam giác
Câu 3: Chọn đáp án đúng nhất
Giao điểm của ba đường cao của tam giác được gọi là
A. trực tâm của tam giác
B. trọng tâm của tam giác
C. tâm đường tròn nội tiếp
D. tâm đường tròn ngoại tiếp
Giao điểm của ba đường cao của tam giác được gọi là trực tâm của tam giác đó.
Đáp án đúng là A. trực tâm của tam giác
Câu 4: Chọn đáp án đúng nhất
Trực tâm của một tam giác là
A. giao điểm của ba đường phân giác trong
B. giao điểm của ba đường trung trực
C. giao điểm của ba đường trung tuyến
D. giao điểm của ba đường cao
Trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao.
Đáp án đúng là D. giao điểm của ba đường cao
Câu 5: Chọn đáp án đúng nhất
Đường trung trực của tam giác là
A. Đường thẳng vuông góc với một cạnh của tam giác tại trung điểm của cạnh ấy.
B. Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tam giác.
C. Đường thẳng vuông góc với một cạnh của tam giác.
D. Đường thẳng đi qua một đỉnh của tam giác và vuông góc với cạnh đối diện đỉnh ấy.
Đường trung trực của tam giác là đường thẳng vuông góc với một cạnh của tam giác tại trung điểm của cạnh ấy.
Đáp án đúng là A. Đường thẳng vuông góc với một cạnh của tam giác tại trung điểm của cạnh ấy.
Câu 6: Chọn hình ảnh đúng nhất.
Cho tam giác ABC, hình vẽ nào thể hiện đường trung trực của cạnh BC?
Đáp án đúng là B.
Câu 7: Điền đáp án đúng vào ô trống
Điền số thích hợp vào chỗ trống
Mỗi tam giác có ….. đường trung trực.
Mỗi tam giác có 3 đường trung trực.
Số cần điền là 3
Câu 8: Điền đáp án đúng vào ô trống
Điền số thich hợp vào trống
Mỗi tam giác có ….. đường cao.
Mỗi tam giác có ba đường cao.
Số cần điền là 3
Câu 9: Chọn hình ảnh đúng nhất.
Hình vẽ nào sau đây thể hiện đường cao của cạnh BC trong tam giác ABC?
Đáp án đúng là A.
Câu 10: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABC, đường cao ứng với cạnh AC thì
A. đi qua đỉnh A và vuông góc với BC
B. đi qua đỉnh C và vuông góc với AB
C. đi qua đỉnh B và vuông góc với AC
D. Tất cả đều đúng
Đường cao ứng với cạnh AC thì đi qua đỉnh B và vuông góc với cạnh AC (hình vẽ).
Đáp án đúng là C. đi qua đỉnh B và vuông góc với AC
B: Bài tập trung bình
Câu 1: Chọn đáp án đúng nhất
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Nếu ABC vuông tại A thì
A. H trùng với A
B. H trùng với B
C. H trùng với C
D. H không trùng với đỉnh nào của tam giác
Vì tam giác ABC vuông tại A nên trực tâm H trùng với đỉnh A.
Đáp án đúng là A. H trùng với A
Câu 2: Chọn đáp án đúng nhất
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Nếu tam giác ABC có ba góc đều là góc nhọn thì
A. H nằm bên trong tam giác ABC
B. H nằm bên ngoài tam giác ABC
C. H nằm trên một cạnh của tam giác ABC
D. H trùng với một trong ba đỉnh ABC
Vì tam giác ABC có ba góc đều là góc nhọn nên trực tâm H nằm bên trong tam giác ABC.
Đáp án đúng là A. H nằm bên trong tam giác ABC
Câu 3: Chọn đáp án đúng nhất
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Nếu tam giác ABC có một góc tù thì
A. H nằm bên trong tam giác ABC
B. H nằm bên ngoài tam giác ABC
C. H nằm trên một cạnh của tam giác ABC
D. H trùng với một trong ba đỉnh ABC
Vì tam giác ABC là tam giác tù (có một góc tù) nên trực tâm H nằm bên ngoài tam giác ABC.
Đáp án đúng là B. H nằm bên ngoài tam giác ABC
Câu 4: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABC. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Khi đó
A. OA > OB > OC
B. OA < OB < OC
C. OA = OB = OC
D. OA < OC < OB
Vì O là giao điềm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên O cách đều ba đỉnh A, B, C.
Do đó OA = OB = OC .
Đáp án đúng là C. OA = OB = OC
Câu 5: Chọn đáp án đúng nhất
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC thì
A. HA ⊥ BC
B. HB ⊥ AC
C. HC ⊥ AB
D. Tất cả đều đúng
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên HA ⊥ BC , HB ⊥ AC , HC ⊥ AB (đường thẳng đi qua trực tâm và một đỉnh của tam giác thì vuông góc với cạnh đối diện đỉnh ấy).
Đáp án đúng là D. Tất cả đều đúng
Câu 6: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC và AB. Qua M vẽ đường thẳng m vuông góc với BC tại M. Qua N vẽ đường thẳng n vuông góc với AC tại N. Qua P vẽ đường thẳng p vuông góc với AB tại P. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Đường thẳng p không đi qua giao điểm của hai đường thẳng m và n.
B. Ba đường thẳng m, n, p đồng quy tại một điểm.
C. Đường thẳng m không đi qua giao điểm của hai đường thẳng n và p.
D. Đường thẳng n không đi qua giao điểm của hai đường thẳng m và p.
Dựa vào giả thiết ta suy ra các đường thẳng m, n, p là ba đường trung trực của tam giác ABC. Do đó ba đường thẳng m, n, p đồng quy tại một điểm (hình vẽ).
Đáp án đúng là B. Ba đường thẳng m, n, p đồng quy tại một điểm.
Câu 7: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABC, vẽ các đường cao AD, BE, D ∈ BC, E ∈ AC. Gọi H là giao điểm của AD và BE. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. CH ⊥ BC
B. Tất cả đều sai
C. CH ⊥ AC
D. CH ⊥ AB
Ta có hình vẽ:
Vì H là giao điểm của hai đường cao AD và BE nên H là trực tâm của tam giác ABC.
Suy ra CH ⊥ AB.
Đáp án đúng là D. CH ⊥ AB
Câu 8: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao của tam giác ABC. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Tam giác ABC cân tại A
B. Tam giác ABC cân tại B
C. Tam giác ABC đều
D. Tam giác ABC vuông tại C
Vì đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao nên tam giác ABC cân tại A.
Đáp án đúng là A. Tam giác ABC cân tại A
Câu 9: Chọn đáp án đúng nhất
Chọn câu đúng nhất
A. Trực tâm của một tam giác đều trùng với trọng tâm của tam giác đó.
B. Trực tâm của một tam giác đều cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
C. Trực tâm của một tam giác đều cách đều ba cạnh của tam giác đó.
D. Cả A, B và C đều đúng.
A. Trực tâm của một tam giác đều trùng với trọng tâm của tam giác đó. (đúng)
B. Trực tâm của một tam giác đều cách đều ba đỉnh của tam giác đó. (đúng)
C. Trực tâm của một tam giác đều cách đều ba cạnh của tam giác đó. (đúng)
Vì cả A, B,C đều đúng nên đáp án đúng nhất là câu D.
Đáp án đúng là D. Cả A, B và C đều đúng.
Câu 10: Tính số đo các góc của tam giác ABC trong hình vẽ dưới đây biết góc BCF có số đo bằng 25° và góc ABE có số đo bằng 20°.
Xét tam giác BFC vuông tại F có \(\widehat{FBC}+\widehat{BCF}=90°\)
⇒ \(\widehat{FBC}=90°−\widehat{BCF} = 90° - 25° = 65°\) ⇒ Góc B bằng 65°
Xét tam giác ABE vuông tại E có \(\widehat{ABE}+\widehat{BAE}=90°\)
⇒\( \widehat{BAE}=90°−\widehat{ABE} = 90° - 20° = 70°\) ⇒ Góc A bằng 70°
Xét tam giác ABC có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°\)
⇒ \(\widehat{C}=180°−\widehat{A}−\widehat{B} = 180° - 70° - 65° = 45°\)
C: Bài tập nâng cao
Câu 1: Chọn đáp án đúng nhất
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Trực tâm của tam giác HAB là
A. điểm C
B. điểm A
C. điểm B
D. điểm H
Ta có hình vẽ:
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên
CH ⊥ AB ⇒ CH là đường cao ứng với cạnh AB của tam giác HAB
CB ⊥ HA ⇒ CB là đường cao ứng với cạnh HA của tam giác HAB
CA ⊥ HB ⇒ CA là đường cao ứng với cạnh HB của tam giác HAB
Mà CH, CB, CA đồng quy tại C ⇒ C là giao điểm của đường cao của tam giác HAB
Do đó trực tâm của tam giác HAB là điểm C.
Đáp án đúng là A. điểm C
Câu 2: Chọn đáp án đúng nhất
Trên một bản đồ, ba khu dân cư được quy hoạch tại ba địa điểm M, N và P không thẳng hàng. Xác định điểm O trên bản đồ sao cho O cách đều ba điểm M, N, P để quy hoạch một bệnh viện (hình vẽ).
A. O là giao điểm của ba đường cao của tam giác MNP
B. O là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác MNP
C. O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác MNP
D. O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác MNP
Vì ba điểm M, N, P không thẳng hàng nên M, N, P lập thành tam giác MNP.
Vì điểm O cách đều ba điểm M, N, P nên O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác MNP.
Đáp án đúng là D. O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác MNP
Câu 3: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABC có góc A bằng 110°. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tính số đo góc BHC.
A. 80°
B. 90°
C. 70°
D. 60°
Gọi D, E lần lượt là chân đường cao xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C của tam giác ABC (hình vẽ).
Ta có \(\widehat{BAC}=\widehat{DBA}+\widehat{ADB}\) (góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABD)
⇒ \(\widehat{DBA}=\widehat{BAC}−\widehat{ADB} = 110° - 90° = 20°\)
Xét tam giác BHE vuông tại E có BHEˆ+ABDˆ=90°
⇒ \(\widehat{BHE}=90°−\widehat{ABD} = 90° - 20° = 70° ⇒ \widehat{BHC} = 70°.\)
Vậy góc BHC có số đo bằng 70°.
Đáp án đúng là C. 70°
Câu 4: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABC trong hình biết góc BCF bằng 28° và góc ABE bằng 22°. Cạnh nhỏ nhất của tam giác ABC là
A. Cạnh AB
B. Cạnh BC
C. Cạnh AC
D. Không xác định được
Xét tam giác BFC vuông tại F có \(\widehat{FBC}+\widehat{BCF}=90°\)
⇒ \(\widehat{FBC}=90°−\widehat{BCF} = 90° - 28° = 62° \)⇒ Góc B bằng 62° (góc B của tam giác ABC)
Xét tam giác ABE vuông tại E có \(\widehat{ABE}+\widehat{BAE}=90°\)
⇒ \(\widehat{BAE}=90°−\widehat{ABE} = 90° - 22° = 68°\) ⇒ Góc A bằng 68° (góc A của tam giác ABC)
Xét tam giác ABC có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°\)
⇒ \(\widehat{C}=180°−\widehat{A}−\widehat{B} = 180° - 68° - 62° = 50°\) (góc C của tam giác ABC)
Trong tam giác ABC ta có góc C < góc B < góc A (50° < 62° < 68°)
⇒ AB < AC < BC
Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác ABC là cạnh AB.
Đáp án đúng là A. Cạnh AB
Câu 5: Tính số đo các góc của tam giác ABC trong hình biết góc CBE bằng 35° và góc DHC bằng 60°.
Xét tam giác CBE vuông tại E có: \(\widehat{CBE}+\widehat{BCE}=90°\)
⇒ \(\widehat{BCE}=90°−\widehat{CBE} = 90° - 35° = 55°\) ⇒ góc C của tam giác ABC bằng 55°
Xét tam giác DHC vuông tại D có: \(\widehat{DCH}+\widehat{DHC}=90°\)
⇒ \(\widehat{DCH}=90°−\widehat{DHC} = 90° - 60° = 30°\) hay góc BCF bằng 30°
Xét tam giác BCF vuông tại F có: \(\widehat{BCF}+\widehat{CBF}=90°\)
⇒\(\widehat{CBF}=90°−\widehat{BCF}\)
= 90° - 30° = 60° ⇒ góc B của tam giác ABC bằng 60°
Xét tam giác ABC có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°\)
⇒ \(\widehat{A}=180°−\widehat{B}−\widehat{C}= 180° - 60° - 55° = 65°\)
Câu 6: Điền đáp án đúng vào ô trống
Cho tam giác ABC như hình vẽ. Biết OM và ON là hai đường trung trực của tam giác ABC và OA = 10 cm. Tính tổng OB và OC.
Đáp số: OB + OC = ….. cm
Vì OM và ON là hai đường trung trực của tam giác ABC nên O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
Suy ra O cách đều ba đỉnh A, B và C hay OA = OB = OC
Do đó OB = OC = 10 cm
Vậy OB + OC = 10 + 10 = 20 cm
Số cần điền là 20
Câu 7: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Phát biểu nào sau đây là đúng nhất?
A. AM là đường cao của tam giác ABC
B. AM là đường phân giác của góc BAC
C. AM là đường trung trực của cạnh BC
D. Tất cả đều đúng
Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến mà tam giác ABC cân tại A nên AM đồng thời là đường cao, đường phân giác (của góc BAC), đường trung trực của cạnh BC.
Đáp án đúng là D. Tất cả đều đúng
Câu 8: Tính số đo các góc của tam giác ABC trong hình biết góc CBE bằng 38° và góc DHC bằng 62°.
Xét tam giác CBE vuông tại E có:\(\widehat{CBE}+\widehat{BCE}=90°\)
⇒ \(\widehat{BCE}=90°−\widehat{CBE} = 90° - 38° = 52° \)⇒ góc C của tam giác ABC bằng 52°
Xét tam giác DHC vuông tại D có: \(\widehat{DCH}+\widehat{DHC}=90°\)
⇒ \(\widehat{DCH}=90°−\widehat{DHC}\)
= 90° - 62° = 28° hay góc BCF bằng 28°
Xét tam giác BCF vuông tại F có: \(\widehat{BCF}+\widehat{CBF}=90°\)
⇒\(\widehat{CBF}=90°−\widehat{BCF} = 90° - 28° = 62°\) ⇒ góc B của tam giác ABC bằng 62°
Xét tam giác ABC có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°\)
⇒ \(\widehat{A}=180°−\widehat{B}−\widehat{C}= 180° - 62° - 52° = 66°\)
Câu 9: Chọn đáp án đúng nhất
Cho tam giác ABC trong hình biết góc BCF bằng 27° và góc ABE bằng 23°. Cạnh lớn nhất của tam giác ABC là
A. Cạnh AB
B. Cạnh BC
C. Cạnh AC
D. Cạnh BD
Xét tam giác BFC vuông tại F có \(\widehat{FBC}+\widehat{BCF}=90°\)
⇒\( \widehat{FBC}=90°−\widehat{BCF} = 90° - 27° = 63°\) ⇒ Góc B bằng 63° (góc B của tam giác ABC)
Xét tam giác ABE vuông tại E có \(\widehat{ABE}+\widehat{BAE}=90°\)
⇒ \(\widehat{BAE}=90°−\widehat{ABE} = 90° - 23° = 67°\) ⇒ Góc A bằng 67° (góc A của tam giác ABC)
Xét tam giác ABC có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°\)
⇒ \(\widehat{C}=180°−\widehat{A}−\widehat{B} = 180° - 67° - 63° = 50° \) (góc C của tam giác ABC)
Trong tam giác ABC ta có góc C < góc B < góc A (50° < 63° < 67°)
⇒ AB < AC < BC
Vậy cạnh lớn nhất của tam giác ABC là cạnh BC.
Đáp án đúng là B. Cạnh BC
Câu 10: Chọn đáp án đúng nhất
Tính số đo các góc của tam giác ABC trong hình vẽ biết OM và ON là hai đường trung trực của tam giác ABC.
A. \(\widehat{A}=70°;\widehat{B}=60°;\widehat{C}=50°\)
B. \(\widehat{A}=60°;\widehat{B}=70°;\widehat{C}=50°\)
C. \(\widehat{A}=70°;\widehat{B}=50°;\widehat{C}=60°\)
D. \(\widehat{A}=50°;\widehat{B}=60°;\widehat{C}=70°\)
Vì OM và ON là hai đường trung trực của tam giác ABC nên O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
Suy ra O cách đều ba đỉnh A, B, C hay OA = OB = OC.
Vì OA = OB nên tam giác OAB cân tại O ⇒ \(\widehat{OBA}=\widehat{OAB}=40°\)
Vì OA = OC nên tam giác OAC cân tại O ⇒ \(\widehat{OAC}=\widehat{OCA}=30°\)
Vì OB = OC nên tam giác OBC cân tại O ⇒\( \widehat{OCB}=\widehat{OBC}=20°\)
Xét tam giác ABC có
\(\widehat{A}=\widehat{OAB}+\widehat{OAC} = 40° + 30° = 70°\)
\( \widehat{B}=\widehat{OBA}+\widehat{OBC} = 40° + 20° = 60°\)
\(\widehat{C}=\widehat{OCA}+\widehat{OCB} = 30° + 20° = 50°\)
Đáp án đúng là A. \(\widehat{A}=70°;\widehat{B}=60°;\widehat{C}=50°\)