TakenotesBeta | Sổ tay học tốt

Góc nội tiếp-2

Bài tập Nâng cao:

Câu 4: Chọn đáp án đúng nhất

Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến PAB. Gọi D là điểm chính giữa của cung AB. Kẻ đường kính DE. PE cắt (O) tại I, ID cắt AB tại K. Khi đó:

A. PB . KB = PA . KA

B. PA . KB = PB . KA

C. PK . BA = PB . KA

D. PA . PB = KB . KA

Câu 5: Chọn đáp án đúng nhất

Cho lục giác ABCDEF có các đỉnh thuộc đường tròn (O). Biết AB // DE,
BC // EF. Khi đó góc ADC bằng:

\hat{F E C}

$\widehat{FEC}$

\hat{F D C}

$\widehat{FDC}$

\hat{D A F}

$\widehat{DAF}$

\hat{A C E}

$\widehat{ACE}$

Câu 6: Chọn đáp án đúng nhất

Cho đường tròn (O; R) và 3 điểm A, B, C nằm trên đường tròn (O) thỏa mãn

Δ

$\Delta$ ABC cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng cắt cạnh BC tại D và cắt (O) tại E. Tính tích AD . AE theo R và đường cao h của tam giác kẻ từ A.

A. AD . AE = 2Rh.

B. AD . AE = Rh.

C. AD . AE = 3Rh.

D. AD . AE = 4Rh.

Câu 7: Chọn đáp án đúng nhất

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ba điểm A, B, C phân biệt nằm trên đường tròn (O). Gọi J là điểm chính giữa của cung nhỏ BC và I là giao điểm của AJ với BC . Chọn đáp án đúng.

A. AI² = AB . AC + IB . IC.

B. AI² = AB . AC – JB . JC.

C. AI² = AB . AC – IB . IC.

D. AI² = AB . AC + JB . JC.

Câu 8: Chọn đáp án đúng nhất

Từ 2015 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn luôn chọn được ít nhất bao nhiêu điểm mà 3 điểm bất kỳ trong đó là các đỉnh của một tam giác?

A. 2016.

B. 671.

C. 672.

D. 1008.

Câu 9: Chọn đáp án đúng nhất

Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi K là trung điểm của OC. Gọi M là giao điểm thứ hai của BK với đường tròn (O), I là giao điểm của MD và AB. Tính diện tích tam giác MAB.

S_{Δ M A B} = \frac{3 R^{2}}{5}

$S_{\Delta MAB}=\dfrac{3R^2}{5}$

S_{Δ M A B} = \frac{4 R^{2}}{5}

$S_{\Delta MAB}=\dfrac{4R^2}{5}$

S_{Δ M A B} = \frac{6 R^{2}}{5}

$S_{\Delta MAB}=\dfrac{6R^2}{5}$

S_{Δ M A B} = \frac{5 R^{2}}{6}

$S_{\Delta MAB}=\dfrac{5R^2}{6}$

Câu 10: Chọn đáp án đúng nhất

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là trung điểm của OB. Gọi D, E là các điểm thuộc nửa đường tròn sao cho

\hat{A C D} = \hat{B C E} < 90^{o}

$\widehat{ACD}=\widehat{BCE}<90^o$ . Biết

C D - C E = a

$CD – CE = a$ , tính DE theo a.

a

$a$

\frac{a}{2}

$\dfrac{a}{2}$

2 a

$2a$

a \sqrt{2}

$a\sqrt{2}$

Hiển thị phần đáp án

Câu 4: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: B. PA . KB = PB . KA

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B. PA . KB = PB . KA.

Ta có: $\overset{⌢}{D A} = \overset{⌢}{D B}$ (gt) nên $\hat{A I D} = \hat{B I D}$ hay IK là phân giác trong của △ AIB.

Khi đó theo tính chất đường phân giác có $\frac{K A}{K B} = \frac{I A}{I B}$ (1).

Mặt khác $\hat{E I D}$ = 90° (ED là đường kính) nên PI $⊥$ KI.

Do đó PI là phân giác góc ngoài của $△$ AIB nên theo tính chất đường phân giác có $\frac{P A}{P B} = \frac{I A}{I B}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{P A}{P B} = \frac{K A}{K B}$ hay PA . KB = PB . KA.

Câu 5: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: C.

\hat{D A F}

DAFˆ

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. $\hat{D A F}$ .

Vì ED // AB nên $\hat{E D A} = \hat{D A B}$ (hai góc so le trong).
Mà $\hat{E D A} = \hat{E C A}$ ; $\hat{D A B} = \hat{D F B}$ (hai góc nôi tiếp cùng chắn một cung).
Suy ra $\hat{E C A} = \hat{D F B}$ (1).

Vì EF // BC nên $\hat{E F C} = \hat{F C B}$ (hai góc so le trong).
Mà $\hat{E F C} = \hat{E A C}$ ; $\hat{F C B} = \hat{F D B}$ (hai góc nôi tiếp cùng chắn một cung).
Suy ra $\hat{E A C} = \hat{F D B}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $△ E A C ∽ △ B D F$ (g.g).

Suy ra $\hat{A E C} = \hat{D B F}$ .

Mà $\hat{A D C} = \hat{A E C}$ ; $\hat{D A F} = \hat{D B F}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung).

Do đó $\hat{A D C} = \hat{D A F}$ .

Câu 6: Chọn đáp án đúng nhất

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A. AD . AE = 2Rh.

Vì $Δ$ ABC cân tại A nên AB = AC hay $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A C}$ . Suy ra $\hat{A B D} = \hat{A E B}$ (các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau).

Do đó $Δ$ ADB $\sim$ $Δ$ ABE (g.g).

Suy ra $\frac{A D}{A B} = \frac{A B}{A E}$ hay $A B^{2} = A D . A E$ .

Kẻ đường kính AA' của đường tròn (O).

Gọi H là giao điểm của AA' và BC ta có AH = h là đường cao của $Δ$ ABC.

Xét $Δ$ ABA' vuông tại B có đường cao BH.

Áp dụng hệ thức $b^{2} = a . b^{'}$ ta có: $A B^{2} = A A^{'} . A H = 2 R h$ .

Vậy AD . AE = AB² = 2Rh.

Câu 7: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: C. AI² = AB . AC – IB . IC.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. AI² = AB . AC – IB . IC.

Vì J là điểm chính giữa cung BC nên $\overset{⌢}{J B} = \overset{⌢}{J C}$ hay $\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}}$ .

Lại có $\hat{J_{1}} = \hat{C_{1}}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

Suy ra $Δ A B J ∽ Δ A I C$ (g.g).

Khi đó $\frac{A B}{A I} = \frac{A J}{A C}$ hay AB . AC = AI . AJ (1).

Ta lại có: $\hat{J_{1}} = \hat{C_{1}}$ (cmt) và $\hat{I_{2}} = \hat{I_{1}}$ (2 góc đối đỉnh) suy ra $Δ B I J ∽ Δ A I C$ (g.g).

Khi đó $\frac{B I}{I J} = \frac{A I}{I C}$ hay IB . IC = AI . IJ (2).

Lấy (1) trừ (2), vế theo vế ta được AB . AC – IB . IC = AI . (AJ – IJ) = AI².

Câu 8: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: D. 1008.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D. 1008.

Xét đường kính của đường tròn không đi qua điểm nào trong 2015 điểm đã cho (luôn tồn tại).

Chọn nửa đường tròn chứa số điểm nhiều hơn suy ra nửa đó chứa ít nhất 1008 điểm.

Xét 3 điểm bất kỳ trong số các điểm thuộc nửa đường tròn đã chọn ta có 3 điểm đó là các đỉnh của một tam giác tù (vì có một góc nội tiếp chắn cung lớn hơn nửa đường tròn).

Câu 9: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: B.

S_{Δ M A B} = \frac{4 R^{2}}{5}

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B. $S_{Δ M A B} = \frac{4 R^{2}}{5}$ .

Xét $Δ$ AMB và $Δ$ KOB có: $\hat{B}$ chung, $\hat{M} = \hat{O} = 90^{0}$ .

Suy ra $Δ$ AMB $∽$ $Δ$ KOB (g.g).

Nên $\frac{M A}{M B} = \tan B = \frac{O K}{O B} = \frac{1}{2}$ suy ra MB = 2MA.

Lại có MA² + MB² = AB² = 4R².

Suy ra $M A = \frac{2 R}{\sqrt{5}}$ , $M B = \frac{4 R}{\sqrt{5}}$ .

Do đó $S_{Δ M A B} = \frac{1}{2} . M A . M B = \frac{4 R^{2}}{5}$ .

Câu 10: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: C.

2 a

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. $2 a$ .

Trên CD lấy K sao cho CK = CE thì DK = CD – CK = CD – CE = a.

Kéo dài DC cắt đường tròn (O) ở I.

Ta có $\hat{C_{2}} = \hat{C_{1}} = \hat{C_{3}}$ nên điểm E đối xứng với điểm I qua AB. Khi đó $\hat{E O B} = \frac{1}{2} s đ \overset{⌢}{E I} = \hat{I D E}$ (1)

Mà ΔECK cân ở C suy ra $\hat{K_{1}} = \frac{180^{0} - \hat{C_{4}}}{2} = \hat{C_{2}}$ .

suy ra $\hat{D K E} = \hat{O C E}$ (bù với hai góc trên). (2)

Từ (1) và (2) suy ra $Δ$ DKE $∽$ $Δ$ OCE (g.g).

Hay $\frac{D E}{D K} = \frac{O E}{O C} = \frac{O B}{O C} = 2$ suy ra DE = 2DK = 2a.