Hình thoi
A: Bài tập cơ bản
Câu 1: Lựa chọn đáp án đúng nhất
Hình bình hành là hình thoi khi:
A. Có hai đường chéo vuông góc
B. Có hai đường chéo bằng nhau
C. Có một góc vuông
D. Có hai góc đối bằng nhau
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi (dấu hiệu nhận biết)
Vậy đáp án là A.
Câu 2: Điền kết quả vào ô trống
Cho hình thoi ABCD trong hình sau
Biết OA=24cm;OB=7cm
Độ dài cạnh hình thoi ABCD là ….. (cm)
Theo tính chất của hình thoi: AC⊥BD
Xét tam giác vuông ABO có:
\(AB^2=BO^2+AO^2\) (định lý Pi - ta - go)
\(AB^2=7^2+24^2=625\)
⇒AB=25(cm)
Vậy cần điền vào ô trống là 25
Câu 3: Điền kết quả vào ô trống
Cho hình thoi ABCD trong hình sau
Biết OA=8cm;AD=10cm
Độ dài đường chéo BD là ….. (cm)
Theo tính chất của hình thoi: AC⊥BD
Xét tam giác vuông ADO có:
\(AO^2=DO^2+AO^2\) (định lý Pi - ta - go)
\(OD^2=AD^2−AO^2\)
⇒\(OD^2=10^2−8^2=36\)
⇒OD=6cm
Mà BD=2OB (tính chất hình thoi)
⇒BD=12(cm)
Vậy cần điền vào ô trống là 12
Câu 4: Điền kết quả vào ô trống
Cho hình thoi ABCD trong hình sau
Biết \(\widehat{OAD}=24°\). Tính \(\widehat{ABO}.\)
Đáp án: \(\widehat{ABO}=.....\)
Theo tính chất của hình thoi, ta có: \(\widehat{OAD}=\widehat{OAB}=24°\)
⇒\(\widehat{BAD}=48°\)
Mà AB=AD (tính chất hình thoi)
⇒ΔABD cân tại A
⇒\(\widehat{ABO}=\widehat{ADO}=\frac{180°−48°}{2}=66°\)
Vậy cần điền vào ô trống là 66°
Câu 5: Lựa chọn đáp án đúng nhất
Khẳng định sau đây đúng hay sai
Cho ΔABC, qua điểm D∈BC kẻ các đường thẳng song song với AB và AC cắt AC,AB theo thứ tự tại E và F. Nếu điểm D nằm trên tia phân giác của góc A thì AEDF là hình thoi.
A. Đúng
B. Sai
Theo giả thiết đã cho thì DE//AB;DF//AC
⇒DE//AF;DF//AE
⇒AEDF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
Nếu D nằm trên tia phân giác của góc A, tức là AD là phân giác góc A thì AEDF là hình thoi (dấu hiệu nhận biết).
Vậy đáp án là A.Đúng.
Câu 6: Điền kết quả vào ô trống
Cho hình thoi ABCD có \(\widehat{A}=60°\). Kẻ BH⊥AD;(H∈AD), kéo dài một đoạn HE=BH. Nối E với A,E với D. So sánh độ dài AH và DH.
Đáp án: AH ….. DH
Theo bài, hình thoi ABCD có \(\widehat{A}=60°\)
⇒\(\widehat{B}=120°\)
Mà BD là phân giác của góc B nên \(\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=60°\)
⇒ΔABD đều
Lại có: BH⊥AD(H∈AD)
⇒AH=HD
Vậy cần điền vào ô trống là =
Câu 7: Lựa chọn đáp án đúng nhất
Cho hình thoi ABCD có \(\widehat{A}=60°\). Kẻ BH⊥AD;(H∈AD), kéo dài một đoạn HE=BH. Nối E với A,E với D. Tứ giác ABDE là hình gì?
A. Hình thoi
B. Hình chữ nhật
C. Hình bình hành
D. Hình thang
Theo bài, hình thoi ABCD có \(\widehat{A}=60°\)
⇒\(\widehat{B}=120°\)
Mà BD là phân giác của góc B nên \(\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=60°\)
⇒ΔABD đều
Lại có: BH⊥AD(H∈AD)
⇒AH=HD (1)
Hơn nữa: EH=BH (giả thiết) (2)
Mà BE∩AD=H, do đó từ (1) và (2) suy ra ABDE là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
Mặt khác: BH⊥AD⇒BE⊥AD
⇒ ABDE là hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vuông góc)
Vậy đáp án là A.
Câu 8: Điền kết quả vào ô trống
Cho hình thoi ABCD có AB=BD=10cm. Tính độ dài AC.
Đáp án: AC= ….. (cm)
Gọi O=AC∩BD
Theo bài cho: BD=10cm⇒\(BO=\frac{BD}{2}=\frac{10}{2}=5(cm)\)
Xét tam giác vuông ABO có:
\(AB^2=AO^2+OB^2\) (định lý Pi - ta - go)
⇒\(AO^2=AB^2−OB^2\)
⇒\(AO^2=10^2−5^2=75\)
⇒\(AO=5\sqrt{3}(cm)\)
Mà: AC=2AO (tính chất hình thoi)
⇒\(AC=10\sqrt{3}(cm)\)
Vậy cần điền vào ô trống để được kết quả là: \(10\sqrt{3}\)
Câu 9: Điền kết quả vào ô trống
Cho hình thoi ABCD có AB=BD=10cm. Tính diện tích hình thoi ABCD.
Đáp án: \(S_{ABCD}=.....(cm^2)\)
Gọi O=AC∩BD
Theo bài cho: BD=10cm⇒\(BO=\frac{BD}{2}=\frac{10}{2}=5(cm)\)
Xét tam giác vuông ABO có:
\(AB^2=AO^2+OB^2\) (định lý Pi - ta - go)
⇒\(AO^2=AB^2−OB^2\)
⇒\(AO^2=10^2−5^2=75\)
⇒\(AO=5\sqrt{3}(cm)\)
Mà: AC=2AO (tính chất hình thoi)
⇒\(AC=10\sqrt{3}(cm)\)
Diện tích hình thoi ABCD là:
\(\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}.10\sqrt{3}.10=50\sqrt{3}\)\((cm^2)\)
Vậy cần điền vào ô trống để được kết quả là: \(50\sqrt{3}\)
Câu 10: Điền kết quả vào ô trống
Cho hình thoi ABCD có AC=24cm;BD=10cm. Biết AC∩BD=O.
Tính diện tích hình thoi ABCD.
Đáp án: \(S_{ABCD}=.....(cm^2)\)
Theo bài cho: BD=10cm;AC=24(cm)
Diện tích hình thoi ABCD là:
\(\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}.24.10=120\)\((cm^2)\)
Vậy cần điền vào ô trống để được kết quả là: 120\((cm^2)\)
B: Bài tập nâng cao
Câu 1: Điền kết quả vào ô trống
Cho hình thoi MNPQ trong hình sau:
Biết \(\widehat{N}−\widehat{M}=24°\)
Tính số đo các góc M và N của hình thoi.
Đáp án:
\(\widehat{M}=.....\)
\(\widehat{N}=.....\)
Theo tính chất của hình thoi: \(\widehat{M}+\widehat{N}=180°\)
Mà theo bài cho: \(\widehat{N}−\widehat{M}=24°\)
Do đó ta có hệ:\(\begin{cases} \widehat{M}+\widehat{N}=180° \\ \widehat{N}−\widehat{M}=24° \end{cases}\)
⇒\(\begin{cases} \widehat{M}=\frac{180°−24°}{2}=78° \\ \widehat{N}=\frac{180°+24°}{2}=102° \end{cases}\)
⇒\(\begin{cases} \widehat{M}=78° \\ \widehat{N}=102° \end{cases}\)
Vậy cần điền vào ô trống là 78° và 102°
Câu 2: Điền kết quả vào ô trống
Cho hình thoi MNPQ trong hình sau:
Biết MP⊥NQ tại O và NP=13cm;NO=12cm. Tính diện tích của hình thoi.
Đáp án: \(S_{MNPQ}=.....(cm^2) \)
Xét tam giác vuông NPO:
\(NP^2=NO^2+OP^2\) (định lý Pi - ta - go)
⇒\(OP^2=NP^2−NO^2=13^2−12^2\)
⇒\(OP^2=25\)
⇒OP=5(cm)
Mà MP=2OP=10(cm) và NQ=2NO=24(cm) (tính chất hình thoi)
Diện tích hình thoi MNPQ là:
\(\frac{1}{2}MP.NQ=\frac{1}{2}.24.10=120\)\((cm^2)\)
Vậy cần điền vào ô trống là 120
Câu 3: Điền kết quả vào ô trống
Cho hình thoi ABCD và O là giao của hai đường chéo, có \(S_{ABCD}=50\sqrt{3}cm^2\) và AC=10cm. Tính độ dài BD và AB.
Đáp án:
BD=.....(cm)
AB=.....(cm)
Theo bài ta có:
\(S_{ABCD}=50\sqrt{3}cm^2\)
⇒\(\frac{1}{2}AC.BD=50\sqrt{3}\)
⇒\(\frac{1}{2}.10.BD=50\sqrt{3}\)
⇒\(BD=10\sqrt{3}(cm)\)
⇒\(OB=5\sqrt{3}(cm)\)
Xét trong tam giác vuông AOB có:
\(AB^2=AO^2+OB^2\) (định lí Py - ta - go)
⇒\(AB^2=5^2+(5\sqrt{3})^2\)
⇒\(AB^2=100⇒AB=10\)(cm)
Vậy cần điền vào ô trống để được kết quả là \(BD=10\sqrt{3}\)(cm); AB=10(cm)
Câu 4: Điền kết quả vào ô trống
Cho hình thoi ABCD và O là giao của hai đường chéo có \(S_{ABCD}=50\sqrt{3}cm^2\) và AC=10cm. Tính số đo các góc của hình thoi.
Đáp án:
\(\widehat{A}=\widehat{C}=.....\)
\(\widehat{B}=\widehat{D}=.....\)
Theo bài ta có:
\(S_{ABCD}=50\sqrt{3}cm^2\)
⇒\(\frac{1}{2}AC.BD=50\sqrt{3}\)
⇒\(\frac{1}{2}.10.BD=50\sqrt{3}\)
⇒\(BD=10\sqrt{3}(cm)\)
⇒\(OB=5\sqrt{3}(cm)\)
Xét trong tam giác vuông AOB có:
\(AB^2=AO^2+OB^2\) (định lí Py - ta - go)
⇒\(AB^2=5^2+(5\sqrt{3})^2\)
⇒\(AB^2=100⇒AB=10(cm)\)
Ta có AC=10cm ⇒ \(OA=\frac{1}{2}.AC=\frac{1}{2}.10=5cm\)
Ta có tam giác vuông AOB = tam giác vuông COB (Tính chất cạch, góc, cạnh)
Do đó cạnh BC = AB. Nên tam giác ABC là tam giác đều vì có 3 cạnh bằng nhau và đều bằng 10(cm)
⇒\(\widehat{BAO}=60°\)
⇒\(\widehat{A}=2\widehat{BAO}=120°\) (tính chất hình thoi)
Mà \(\widehat{A}+\widehat{B}=180°\)
Do đó suy ra \(\widehat{B}=60°\)
Vậy \(\widehat{A}=\widehat{C}=120°; \widehat{B}=\widehat{D}=60°\)
Vậy cần điền vào ô trống để được kết quả là \(\widehat{A}=\widehat{C}=120°; \widehat{B}=\widehat{D}=60°\)
Câu 5: Điền kết quả vào ô trống
Cho tam giác ABC đều. Gọi M∈BC, E và F là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB,AC. Gọi I là trung điểm của AM,D là trung điểm của BC. Tính số đo các góc DIE và góc DIF.
Đáp án:
\(\widehat{DIE}=.....\)
\(\widehat{DIF}=.....\)
Tương tự như vậy: DIFˆ=60°
Vậy cần điền vào ô trống để được kết quả là \(\widehat{DIE}=60°;\widehat{DIF}=60°\)
Câu 6: Lựa chọn đáp án đúng nhất
Khẳng định sau đây đúng hay sai
Cho tam giác ABC đều. Gọi M∈BC, E và F là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB,AC. Gọi I là trung điểm của AM,D là trung điểm của BC. DEIF là hình thoi
A. Đúng
B. Sai
Ta có: ΔAEM vuông tại E (giả thiết)
EI là đường trung tuyến nên IE=IA=IM
⇒\(\widehat{EIM}=\widehat{EAI}+\widehat{AEI}=2\widehat{EAI}\) (1)
Ta có ΔABC đều, DB=DC
Suy ra AD⊥BD và \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}=30°\)
Tam giác ADM vuông tại D có DI là trung tuyến nên ID=IA=IM;\(\widehat{I_1}=2\widehat{A_1}\) (2)
Từ (1) và (2) ⇒\(\widehat{EIM}−\widehat{I_1}=2(\widehat{EAI}−\widehat{A_1})\)
⇒\(\widehat{I_2}=2\widehat{A_2}=60°\)
Hay \(\widehat{DIE}=60° \)
Mà tam giác DIE cân tại I (EI=DI=IA)
⇒ ΔDIE đều
Tương tự, ta chứng minh được ΔDIF đều
Do đó: EI=ED=DF=IF
⇒ Tứ giác DEIF là hình thoi.
Vậy đáp án là A. Đúng.
Câu 7: Điền kết quả vào ô trống
Cho hình thoi ABCD có \(\widehat{A}=60°\). Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh DC lấy điểm N sao cho AM=DN. Tính số đo góc BDC
Đáp án:
\(\widehat{BDC}=.....\)
Theo bài, hình thoi ABCD có \(\widehat{A}=60°\)
Mà \(\widehat{A}+\widehat{B}=180°\)
⇒\(\widehat{B}=\widehat{D}=120°\)
Mà DB là phân giác của góc D trong hình thoi ABCD
⇒\(\widehat{BDC}=\widehat{D_2}=60°\)
Vậy cần điền vào ô trống để được kết quả là \(\widehat{BDC}=60°\)
Câu 8: Điền kết quả vào chỗ trống
Cho hình thoi ABCD có \(\widehat{A}=60°\). Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh DC lấy điểm N sao cho AM=DN. Ta chứng minh được ΔABM=Δ…..
Đáp án: ΔABM=Δ…..
Xét ΔABD có:
AB=AD (tính chất hình thoi)
\(\widehat{BAD}=60°\) (giả thiết)
Suy ra ΔBAD đều
Xét hai tam giác ABM và DBN có:
+ AB=BD (ΔABD đều)
+ \(\widehat{BAM}=\widehat{BDN}=60°\)
+ AM=DN (giả thiết)
⇒ΔABM=ΔDBN (c - g - c)
Vậy cần điền vào ô trống để được kết quả là ΔABM=ΔDBN
Câu 9: Điền kết quả vào ô trống
Cho hình thoi ABCD có \(\widehat{A}=60°\). Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh DC lấy điểm N sao cho AM=DN. Tính số đo góc MBN.
Đáp án: \(\widehat{MBN}=.....\)
Xét ΔABD có:
AB=AD (tính chất hình thoi)
\(\widehat{BAD}=60°\) (giả thiết)
Suy ra ΔBAD đều
Xét hai tam giác ABM và DBN có:
+ AB=BD (ΔABD đều)
+ \(\widehat{BAM}=\widehat{BDN}=60°\)
+ AM=DN (giả thiết)
⇒ΔABM=ΔDBN (c - g - c)
⇒\(\widehat{ABM}=\widehat{DBN}\)
Mà \(\widehat{ABM}+\widehat{B_1}=60°\)
⇒\(\widehat{DBN}+\widehat{B_1}=60°\)
⇒\(\widehat{MBN}=60°\)
Vậy cần điền vào ô trống để được kết quả là \(\widehat{MBN}=60°\)
Câu 10: Lựa chọn đáp án đúng nhất
Cho hình thoi ABCD có \(\widehat{A}=60°\). Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh DC lấy điểm N sao cho AM=DN. ΔBMN là tam giác gì?
A. Tam giác cân
B. Tam giác đều
C. Tam giác vuông
D. Tam giác vuông cân
Xét ΔABD có:
AB=AD (tính chất hình thoi)
\(\widehat{BAD}=60°\) (giả thiết)
Suy ra ΔBAD đều
Xét hai tam giác ABM và DBN có:
+ AB=BD (ΔABD đều)
+ \(\widehat{BAM}=\widehat{BDN}=60°\)
+ AM=DN (giả thiết)
⇒ΔABM=ΔDBN (c - g - c)
⇒BM=BN (hai cạnh tương ứng)
⇒ΔMBN cân tại B. (1)
Ta có ΔABM=ΔDBN (c - g - c)
⇒\(\widehat{ABM}=\widehat{DBN}\)
Mà \(\widehat{ABM}+\widehat{B_1}=60°\)
⇒\(\widehat{DBN}+\widehat{B_1}=60°\)
⇒\(\widehat{MBN}=60°\) (2)
Tù (1) và (2) ⇒ ΔBMN là tam giác đều.
Vậy đáp án là B