Phân thức đại số. Tính chất cơ bản của phân thức đại số
A: Bài tập cơ bản
Câu 1: Điền vào ô trống trong bài rút gọn phân thức sau
\(\frac{4−9x^2}{4−6x}=\frac{(4−9x^2):(.....)}{(4−6x):(.....)}=\frac{2+3x}{2}\)
Rút gọn phân thức:
\(\frac{4−9x^2}{4−6x}\)
\(=\frac{(2+3x)(2−3x)}{2(2−3x)}\)
\(=\frac{(2+3x)(2−3x):(2−3x)}{2(2−3x):(2−3x)}\)
\(=\frac{2+3x}{2}\)
Do đó phải điền vào ô trống là 2−3x.
Câu 2: Lựa chọn đúng hay sai
1. Phân thức \(\frac{12}{x^2−1}\) có nghĩa khi x≠±1
2. Kết quả rút gọn phân thức \(\frac{x−1}{(x+1)(x−1)}\) là \(−\frac{1}{x+1}\)
Ý thứ 1: Đúng vì: Phân thức \(\frac{12}{x^2−1}\) có nghĩa khi \(x^2−1≠0⇒x≠±1\)
Ý thứ 2: Sai vì: \(\frac{x−1}{(x+1)(x−1)}=\frac{1}{x+1}\)
Câu 3: Lựa chọn đáp án đúng nhất
Rút gọn phân thức \(\frac{a^3−27}{2a−6}\) được kết quả là:
A. \(\frac{a^2+a+3}{2} \)
B. \(\frac{a^2+3a+9}{2(a+1)}\)
C. \(\frac{a−3}{2} \)
D. \(\frac{a^2+3a+9}{2}\)
Ta có:
\(\frac{a^3−27}{2a−6}=\frac{(a−3)(a^2+3a+9)}{2(a−3)}\)
\(=\frac{(a−3)(a^2+3a+9):(a−3)}{2(a−3):(a−3)}\)
\(=\frac{a^2+3a+9}{2}\)
Vậy đáp án là D.
Câu 4: Điền kết quả vào ô trống
Giá trị của phân thức \(\frac{x^3+1}{x+1}\) tại x=5 là …..
Ta có:
\(\frac{x^3+1}{x+1}=\frac{(x+1)(x^2−x+1)}{x+1}\)
=\(\frac{(x+1)(x^2−x+1):(x+1)}{(x+1):(x+1)}\)
=\(x^2−x+1\)
Thay x=5 vào phân thức rút gọn, ta được:
\(x^2−x+1=5^2−5+1=21\)
Do đó phải điền vào ô trống là 21.
Câu 5: Điền kết quả vào ô trống
Giá trị của phân thức \(\frac{2xy}{1−xy}\) tại x=y=3 là: …..
Thay x=y=3 vào phân thức, ta được:
\(\frac{2xy}{1−xy}=\frac{2.3.3}{1−3.3}=\frac{18}{−8}=\frac{−9}{4}\)
Câu 6: Điền kết quả vào ô trống
Phân thức \(\frac{3(x+1)}{x(x+3)}\) có nghĩa khi nào?
Phân thức \(\frac{3(x+1)}{x(x+3)}\) có nghĩa khi x(x+3)≠0
⇒\(\begin{cases} x≠0 \\ x+3≠0 \end{cases}\)
⇒\(\begin{cases} x≠0 \\ x≠−3 \end{cases} \)
Vậy phân thức \(\frac{3(x+1)}{x(x+3)}\) có nghĩa khi \(\begin{cases} x≠0 \\ x≠−3 \end{cases} \)
Câu 7:Lựa chọn đáp án đúng nhất
Phân thức nào sau đây bằng với phân thức \(\frac{−x+y}{−x−y}\)
A. \(\frac{x−y}{x+y} \)
B. \(\frac{x+y}{x−y} \)
C. \(\frac{y−x}{x+y} \)
D. \(\frac{−x−y}{x−y}\)
Ta có:
\(\frac{−x+y}{−x−y}=\frac{−(x−y)}{−(x+y)}=\frac{x−y}{x+y}\)
Vậy đáp án là A.
Câu 8: Điền kết quả vào ô trống trong câu rút gọn phân thức sau
\(\frac{2x+10}{x^2+5x}=.....\)
Ta có:
\(\frac{2x+10}{x^2+5x}=\frac{2(x+5)}{x(x+5)}=\frac{2(x+5):(x+5)}{x(x+5):(x+5)}=\frac{2}{x}\)
Do đó phải điền vào ô trống là \(\frac{2}{x}\)
Câu 9: Lựa chọn đáp án đúng nhất
Quy đồng mẫu thức các phân thức \(\frac{x−1}{x^3−1}; \frac{x}{x^2+x+1}\) được kết quả là:
A. \(\frac{x−1}{x^3−1}; \frac{x(x−1)}{x^3−1} \)
B. \(\frac{x−1}{x^2+x+1}; \frac{x}{x^2+x+1} \)
C. \(\frac{x−1}{x^3−1}; \frac{x}{x^3−1} \)
D. \(\frac{x−1}{x^2+x+1}; \frac{x}{x^2+x+1}\)
Mẫu thức chung: \((x−1)(x^2+x+1)\)
Nhân tử phụ của mẫu thức \(x^3−1\) là: 1. Do đó:
\(\frac{x−1}{x^3−1}=\frac{(x−1).1}{(x^3−1).1}=\frac{x−1}{x^3−1}\)
Nhân tử phụ của mẫu thức \(x^2+x+1\) là: x−1. Do đó:
\(\frac{x}{x^2+x+1}=\frac{x.(x−1)}{(x^2+x+1).(x−1)}=\frac{x(x−1)}{x^3−1}\)
Vậy đáp án là A.
Câu 10: Lựa chọn đáp án đúng nhất
Quy đồng mẫu thức các phân thức \(\frac{1}{x}; \frac{2}{x^2}\) được kết quả là:
A. \(\frac{1}{x^2}; \frac{2}{x^2}\)
B. \(\frac{x}{x^2}; \frac{2}{x^2} \)
C. \(\frac{x−1}{x^2}; \frac{2}{x^2} \)
D. \(\frac{x−1}{x^2−1}; \frac{2}{x^2−1}\)
Mẫu thức chung: \(x^2\)
Nhân tử phụ của mẫu thức x là: \(x^2:x=x\). Do đó:
\(\frac{1}{x}=\frac{1.x}{x.x}=\frac{x}{x^2}\)
Nhân tử phụ của mẫu thức \(x^2\) là: \(x^2:x^2=1\). Do đó:
\(\frac{2}{x^2}=\frac{2.1}{x^2.1}=\frac{2}{x^2}\)
Vậy đáp án là B.
B: Bài tập trung bình
Câu 1: Lựa chọn đáp án đúng nhất
Quy đồng mẫu thức các phân thức \(\frac{x−1}{x^2+2x+1}; \frac{2+x}{x+1}\) được kết quả là:
A. \(\frac{x−1}{(x+1)^2}; \frac{2+x}{(x+1)^2}\)
B. \(\frac{x−1}{(x+1)^2}; \frac{(2+x)(x+1)}{(x+1)^2} \)
C. \(\frac{x^2−1}{x+1}; \frac{2+x}{x+1}\)
Ta có: \(\frac{x−1}{x^2+2x+1}=\frac{x−1}{(x+1)^2}\)
Mẫu thức chung: \((x+1)^2\)
Nhân tử phụ của mẫu thức \((x+1)^2\) là: 1. Do đó:
\(\frac{x−1}{x^2+2x+1}=\frac{x−1}{(x+1)^2}=\frac{(x−1).1}{(x+1)^2.1}=\frac{x−1}{(x+1)^2}\)
Nhân tử phụ của mẫu thức x+1 là: x+1. Do đó:
\(\frac{2+x}{x+1}=\frac{(2+x)(x+1)}{(x+1)^2}\)
Vậy đáp án là B.
Câu 2: Lựa chọn đáp án đúng nhất
Quy đồng mẫu thức các phân thức \(\frac{3}{x^2y^3}; \frac{7}{10x^5y^2}\) được kết quả là:
A. \(\frac{30x^3}{10x^5y^3}; \frac{7y}{10x^5y^3} \)
B. \(\frac{1}{10x^5y^3}; \frac{7}{10x^5y^3} \)
C. \(\frac{3x^3}{10x^5y^3}; \frac{7}{10x^5y^3}\)
Mẫu thức chung: \(10x^5y^3\)
Nhân tử phụ của mẫu thức \(x^2y^3\) là: \(10x^3\). Do đó:
\(\frac{3}{x^2y^3}=\frac{3.10x^3}{x^2y^3.10x^3}=\frac{30x^3}{10x^5y^3}\)
Nhân tử phụ của mẫu thức \(10x^5y^2\) là: y. Do đó:
\(\frac{7}{10x^5y^2}=\frac{7.y}{10x^5y^2.y}=\frac{7y}{10x^5y^3}\)
Vậy đáp án là A.
Câu 3: Lựa chọn đúng hay sai
Phân thức \(\frac{1}{100x^2−20x^3}\) có nghĩa khi \(x≠0;x≠\frac{1}{5}\)
Kết quả rút gọn phân thức \(\frac{135x−45x^2}{15x(x−3)^2}\) là \(\frac{−3}{x−3}\)
Ý thứ 1: Sai vì:
Phân thức \(\frac{1}{100x^2−20x^3}\) có nghĩa khi
\(100x^2−20x^3≠0\)
⇒\(20x^2(5−x)≠0\)
⇒\(\begin{cases} x^2≠0 \\ 5−x≠0 \end{cases} \)
⇒\(\begin{cases} x≠0 \\ x≠5 \end{cases} \)
Ý thứ 2: Đúng vì:
\(\frac{135x−45x^2}{15x(x−3)^2}=\frac{45x(3−x)}{15x(x−3)^2}=\frac{3}{3−x}=\frac{−3}{x−3}\)
Câu 4: Lựa chọn đáp án đúng nhất cho câu rút gọn phân thức sau
\(\frac{x^3−3x^2+x−3}{2x^3+x^2+2x+1}=\frac{(x^3−3x^2+x−3):(.....)}{(2x^3+x^2+2x+1):(.....)}=\frac{x−3}{2x+1}\)
Biểu thức cần điền vào ô trống để được phép rút gọn đúng là:
A. \(x^2+1\)
B. \(x^2−1 \)
C. x+1
D. x−1
Ta có:
\(\frac{x^3−3x^2+x−3}{2x^3+x^2+2x+1}\)
=\(\frac{x^2(x−3)+(x−3)}{x^2(2x+1)+(2x+1)}\)
=\(\frac{(x−3)(x^2+1)}{(2x+1)(x^2+1)}\)
=\(\frac{(x−3)(x^2+1):(x^2+1)}{(2x+1)(x^2+1):(x^2+1)}\)
=\(\frac{x−3}{2x+1}\)
Vậy đáp án là A.
Câu 5: Lựa chọn đáp án đúng nhất
Rút gọn phân thức \(\frac{4x^2−4xy+y^2}{y^2−4x^2}\) được kết quả là:
A. \(\frac{x−y}{x−2y}\)
B. \(\frac{y−2x}{2x−y} \)
C. \(\frac{2x−y}{2x+y} \)
D. \(\frac{y−2x}{2x+y}\)
Ta có:
\(\frac{4x^2−4xy+y^2}{y^2−4x^2}\)
=\(\frac{(2x−y)^2}{(y+2x)(y−2x)}\)
=\(\frac{(y−2x)^2}{(2x+y)(y−2x)}\)
=\(\frac{y−2x}{2x+y}\)
Vậy đáp án là D.
Câu 6: Điền kết quả vào ô trống
Giá trị của phân thức \(\frac{x+1}{x^3−2x^2+x}\) tại x=−1 là …..
Ta có:
\(\frac{x+1}{x^3−2x^2+x}=\frac{x+1}{x(x^2−2x+1)}=\frac{x+1}{x(x−1)^2}\)
Thay x=−1 vào phân thức rút gọn, ta được:
\(\frac{x+1}{x(x−1)^2}=\frac{−1+1}{−1.(−1−1)^2}=0\)
Do đó phải điền vào ô trống là 0.
Câu 7: Điền kết quả vào ô trống
Phân thức \(\frac{xy}{x^2+5x−6}\) có nghĩa khi nào?
Phân thức \(\frac{xy}{x^2+5x−6}\) có nghĩa khi
\(x^2+5x−6≠0\)
⇒\(x^2−x+6x−6≠0\)
⇒\(x(x−1)+6(x−1)≠0\)
⇒\((x−1)(x+6)≠0\)
⇒\(\begin{cases} x−1≠0 \\ x+6≠0 \end{cases} \)
⇒\(\begin{cases} x≠1 \\ x≠−6 \end{cases} \)
Vậy phân thức \(\frac{xy}{x^2+5x−6}\) có nghĩa khi \(\begin{cases} x≠1 \\ x≠−6 \end{cases} \)
Câu 8: Điền kết quả vào ô trống
Phân thức \(\frac{(9−x)^2}{x−2}\) có nghĩa khi x≠ …..
Phân thức \(\frac{(9−x)^2}{x−2}\) có nghĩa khi x−2≠0⇒x≠2
Do đó phải điền vào ô trống là 2.
Câu 9: Lựa chọn đáp án đúng nhất.
Khẳng định dưới đây đúng hay sai
\(\frac{1}{x+1}\) và \(\frac{x(x^2−1)}{x^2−x}\) là hai phân thức bằng nhau.
A. Đúng
B. Sai
Rút gọn phân thức:
\(\frac{x(x^2−1)}{x^2−x}=\frac{x(x+1)(x−1)}{x(x−1)}=x+1≠\frac{1}{x+1}\)
Vậy đáp án là B. Sai
Câu 10: Điền kết quả vào ô trống trong câu rút gọn phân thức sau
\(\frac{16−y^2}{y(4+y)}=.....\)
Ta có:
\(\frac{16−y^2}{y(4+y)}=\frac{(4+y)(4−y)}{y(4+y)}=\frac{4−y}{y}\)
Do đó phải điền vào ô trống là 4−y.
C: Bài tập nâng cao
Câu 1: Lựa chọn đáp án đúng nhất cho câu rút gọn phân thức sau
\(\frac{a^4−3a^2+1}{a^4−a^2−2a−1}=\frac{(a^4−3a^2+1):(.....)}{(a^4−a^2−2a−1):(.....)}=\frac{a^2+a−1}{a^2+a+1}\)
Biểu thức cần điền vào ô trống để được phép rút gọn đúng là:
A. \(a^2−a−1 \)
B. a(a−1)
C. \(a^2−1 \)
D. a(a+1)
Ta có:
\(\frac{a^4−3a^2+1}{a^4−a^2−2a−1}\)
=\(\frac{a^4−2a^2+1−a^2}{a^4−(a^2+2a+1)}\)
=\(\frac{(a^2−1)^2−a^2}{a^4−(a+1)^2}\)
=\(\frac{(a^2−1+a)(a^2−1−a)}{(a^2+a+1)(a^2−a−1)}\)
=\(\frac{(a^2+a−1)(a^2−a−1):(a^2−a−1)}{(a^2+a+1)(a^2−a−1):(a^2−a−1)}\)
=\(\frac{a^2+a−1}{a^2+a+1}\)
Cần điền vào các ô trống là \(a^2−a−1\)
Vậy đáp án là A.
Câu 2: Lựa chọn đáp án đúng nhất
Cho \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}≠0\)
Rút gọn phân thức \(\frac{(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)}{(ax+by+cz)^2}\) được kết quả là:
A. 1
B. a+b+c
C. x+y+z
D. \(a^2+b^2+c^2\)
Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k≠0\) thì x=ka;y=kb;z=kc.
Thay x=ka;y=kb;z=kc vào phân thức, ta được:
\(\frac{(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)}{(ax+by+cz)^2}\)
=\(\frac{(k^2a^2+k^2b^2+k^2c^2)(a^2+b^2+c^2)}{(ka^2+kb^2+kc^2)^2}\)
=\(\frac{k^2(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}{k^2(a^2+b^2+c^2)^2}\)
=\(\frac{k^2(a^2+b^2+c^2)^2}{k^2(a^2+b^2+c^2)^2}\)
=1
Vậy đáp án là A.
Câu 3: Lựa chọn đáp án đúng nhất.
Khẳng định dưới đây đúng hay sai
Giá trị của phân thức \(\frac{x^3}{x^3−3x^2y+3xy^2−y^3}\) không phụ thuộc vào biến x,y
A. Đúng
B. Sai
Ta có:
\(\frac{x^3}{x^3−3x^2y+3xy^2−y^3}=\frac{x^3}{(x−y)^3}\)
Vậy giá trị phân thức phụ thuộc vào biến x,y.
Vậy đáp án là B. Sai
Câu 4: Điền kết quả vào ô trống
Giá trị của phân thức \(\frac{0,5x^2+x+2}{x^4−8x}\) tại \(x=\frac{1}{2}\) là …..
Ta có:
\(\frac{0,5x^2+x+2}{x^4−8x}\)
=\(\frac{0,5(x^2+2x+4)}{x(x^3−8)}\)
=\(\frac{0,5(x^2+2x+4)}{x(x−2)(x^2+2x+4)}\)
=\(\frac{0,5}{x(x−2)}\)
Thay \(x=\frac{1}{2}\) vào phân thức rút gọn, ta được:
\(\frac{0,5}{x(x−2)}=\frac{0,5}{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}−2)}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}.(−\frac{3}{2})}=\frac{−2}{3}\)
Câu 5: Điền kết quả vào ô trống
Giá trị của phân thức \(\frac{ax^4−a^4x}{a^2+ax+x^2}\) tại a=3;\(x=\frac{1}{3}\) là …..
Ta có:
\(\frac{ax^4−a^4x}{a^2+ax+x^2}\)
=\(\frac{ax(x^3−a^3)}{a^2+ax+x^2}\)
=\(\frac{ax(x−a)(x^2+ax+a^2)}{a^2+ax+x^2}\)
=ax(x−a)
Thay a=3;\(x=\frac{1}{3} \) vào phân thức rút gọn, ta được:
\(ax(x−a)=3.\frac{1}{3} (\frac{1}{3} −3)=\frac{−8}{3}\)
Câu 6: Điền kết quả vào ô trống
Phân thức \(\frac{xy}{x^2−7x−8}\) có nghĩa khi nào?
Phân thức \(\frac{xy}{x^2−7x−8}\) có nghĩa khi
\(x^2−7x−8≠0\)
⇒\(x^2−8x+x−8≠0\)
⇒x(x−8)+(x−8)≠0
⇒(x−8)(x+1)≠0
⇒\(\begin{cases} x−8≠0 \\ x+1≠0 \end{cases} \)
⇒\(\begin{cases} x≠8 \\ x≠−1 \end{cases} \)
Vậy phân thức \(\frac{xy}{x^2−7x−8}\) có nghĩa khi \(\begin{cases} x≠8 \\ x≠−1 \end{cases} \)
Câu 7: Lựa chọn đáp án đúng nhất.
Khẳng định dưới đây đúng hay sai
\(\frac{3x^2−12x+12}{x^4−8x}\) và \(\frac{3(x−2)}{x(x^2+2x+4)}\) là hai phân thức bằng nhau.
A. Đúng
B. Sai
Ta có:
\(\frac{3x^2−12x+12}{x^4−8x}\)
=\(\frac{3(x^2−4x+4)}{x(x^3−8)}\)
=\(\frac{3(x−2)^2}{x(x−2)(x^2+2x+4)}\)
=\(\frac{3(x−2)}{x(x^2+2x+4)}\)
Vậy đáp án là A. Đúng .
Câu 8: Điền kết quả vào ô trống trong câu rút gọn phân thức sau
\(\frac{x−y}{(x−y)^2+x(x−y)}=.....\)
Ta có:
\(\frac{x−y}{(x−y)^2+x(x−y)}\)
=\(\frac{x−y}{(x−y)(x−y+x)}\)
=\(\frac{x−y}{(x−y)(2x−y)}\)
=\(\frac{1}{2x−y}\)
Do đó phải điền vào ô trống là \(\frac{1}{2x−y}\)
Câu 9: Điền kết quả vào ô trống trong câu rút gọn phân thức sau
\(\frac{2x^2+5x−3}{x^2−9}=.....\)
Ta có:
\(\frac{2x^2+5x−3}{x^2−9}\)
=\(\frac{2x^2+6x−x−3}{(x+3)(x−3)}\)
=\(\frac{2x(x+3)−(x+3)}{(x+3)(x−3)}\)
=\(\frac{(x+3)(2x−1)}{(x+3)(x−3)}\)
=\(\frac{2x−1}{x−3}\)
Do đó phải điền vào ô trống là \(\frac{2x−1}{x−3}\)
Câu 10: Lựa chọn đáp án đúng nhất
Quy đồng mẫu thức các phân thức \(\frac{2x}{x^2−8x+16}; \frac{x}{3x^2−12x}\) và \(\frac{x+1}{x^2−16}\) được kết quả là:
A. \(\frac{2x(x+4)}{x^2−8x+16}; \frac{x(x−4)}{3x^2−12x}; \frac{(x+1)(x−4)}{x^2−16} \)
B. \(\frac{6x^2(x+4)}{3x(x+4)(x−4)^2}; \frac{x(x^2−16)}{3x(x+4)(x−4)^2}; \frac{3x(x−4)(x+1)}{3x(x+4)(x−4)^2} \)
C. \(\frac{2x(x+4)}{3x(x+4)(x−4)^2}; \frac{x(x^2−4)}{3x(x+4)(x−4)^2}; \frac{(x+1)(x−4)}{3x(x+4)(x−4)^2}\)
Ta phân tích các mẫu thức thành nhân tử:
\(x^2−8x+16=(x−4)^2\)
\(3x^2−12x=3x(x−4)\)
\(x^2−16=(x+4)(x−4)\)
Mẫu thức chung: \(3x(x+4)(x−4)^2\)
Nhân tử phụ của mẫu thức \((x−4)^2\) là: 3x(x+4) . Do đó:
\(\frac{2x}{x^2−8x+16}=\frac{2x}{(x−4)^2}=\frac{2x.3x(x+4)}{3x(x+4)(x−4)^2}=\frac{6x^2(x+4)}{3x(x+4)(x−4)^2}\)
Nhân tử phụ của mẫu thức 3x(x−4) là: \((x+4)(x−4)=x^2−16\) . Do đó:
\(\frac{x}{3x^2−12x}=\frac{x}{3x(x−4)}=\frac{x(x^2−16)}{3x(x+4)(x−4)^2}\)
Nhân tử phụ của mẫu thức (x+4)(x−4) là: 3x(x−4) . Do đó:
\(\frac{x+1}{x^2−16}=\frac{x+1}{(x+4)(x−4)}=\frac{3x(x+1)(x−4)}{3x(x+4)(x−4)^2}\)
Vậy đáp án là B.