TakenotesBeta | Sổ tay học tốt

Phương trình bậc hai một ẩn

Bài tập Cơ bản:

Câu 1: Chọn đáp án đúng nhất

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)

$ax^2+bx+c=0(a\ne 0)$

a x^{2} + b x + c = 0 (b \neq 0)

$ax^2+bx+c=0(b\ne 0)$

a x^{2} + b x + c = 0 (c \neq 0)

$ax^2+bx+c=0(c\ne 0)$

a x^{2} + b x^{2} + c = 0 (a, b \neq 0)

$ax^2+bx^2+c=0(a,b\ne 0)$

Câu 2: Chọn đáp án đúng nhất

Xét phương trình bậc hai

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)

$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$ và biệt thức

Δ = b^{2} - 4 a c

$\Delta=b^2-4ac$ . Nếu

Δ < 0

$\Delta <0$ thì phương trình:

A. vô nghiệm

B. có nghiệm kép

x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a}

$x_1=x_2=\dfrac{-b}{2a}$

C. có nghiệm kép

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}

$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

D. có nghiệm

Câu 3: Chọn đáp án đúng nhất

Xét phương trình bậc hai

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)

$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$ và biệt thức

Δ = b^{2} - 4 a c

$\Delta=b^2-4ac$ . Nếu

Δ = 0

$\Delta =0$ thì phương trình có nghiệm kép:

x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{a}

$x_1=x_2=\dfrac{-b}{a}$

x_{1} = x_{2} = \frac{b}{2 a}

$x_1=x_2=\dfrac{b}{2a}$

x_{1} = x_{2} = \frac{b}{2}

$x_1=x_2=\dfrac{b}{2}$

x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a}

$x_1=x_2=\dfrac{-b}{2a}$

Câu 4: Chọn đáp án đúng nhất

Xét phương trình bậc hai

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)

$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$ và biệt thức

Δ = b^{2} - 4 a c

$\Delta=b^2-4ac$ . Nếu

a, c

$a,c$ trái dấu thì phương trình luôn:

A. có nghiệm duy nhất

B. có hai nghiệm phân biệt

C. có nghiệm kép

D. vô nghiệm

Câu 5: Chọn đáp án đúng nhất

Xét phương trình bậc hai

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)

$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$ với b = 2b'. Gọi biệt thức

Δ^{'} = b^{' 2} - a c

$\Delta^\prime=b^{\prime 2}-ac$ . Nếu

Δ^{'} > 0

$\Delta^\prime >0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x_{1, 2} = \frac{- b^{'} - \sqrt{Δ^{'}}}{a}

$x_{1,2}=\dfrac{-b^\prime-\sqrt{\Delta^\prime}}{a}$

x_{1, 2} = \frac{- b^{'} + \sqrt{Δ^{'}}}{2 a}

$x_{1,2}=\dfrac{-b^\prime+\sqrt{\Delta^\prime}}{2a}$

x_{1, 2} = \frac{- b^{'} \pm \sqrt{Δ^{'}}}{a}

$x_{1,2}=\dfrac{-b^\prime\pm\sqrt{\Delta^\prime}}{a}$

x_{1, 2} = \frac{- b^{'} \pm \sqrt{Δ^{'}}}{2 a}

$x_{1,2}=\dfrac{-b^\prime\pm\sqrt{\Delta^\prime}}{2a}$

Câu 6: Chọn đáp án đúng nhất

Chọn đáp án đúng nhất. Nếu A . B = 0 thì:

A. A = 0 hoặc B = 0

B. A = 0 và B = 0

C. A = 0

D. B = 0

Câu 7: Chọn đáp án đúng nhất

Nếu

A^{2} = B (B \geq 0)

$A^2=B(B \ge 0)$ thì:

A. A = B² hoặc A = –B²

B. A = B hoặc A = –B

C. A =

\sqrt{B}

$\sqrt{B}$ hoặc A = B²

D. A =

\sqrt{B}

$\sqrt{B}$ hoặc A = –

\sqrt{B}

$\sqrt{B}$

Đáp án đúng là: D. A =

\sqrt{B}

$\sqrt{B}$ hoặc A = –

\sqrt{B}

$\sqrt{B}$

Câu 8: Chọn đáp án đúng nhất

Chỉ ra các hệ số

a, b, c

$a,b,c$ của phương trình

3 x^{2} + 12 x - 1 = 0

$3x^2+12x-1=0$ .

a = 3, b = 12, c = 1

$a=3,b=12,c=1$

a = - 3, b = 12, c = 1

$a=-3,b=12,c=1$

a = 3, b = 12, c = - 1

$a=3,b=12,c=-1$

a = 3, b = - 12, c = - 1

$a=3,b=-12,c=-1$

Câu 9: Chọn đáp án đúng nhất

Phương trình nào sau đây là phương trình bậc hai một ẩn?

- 3 + \frac{9}{x^{2}} = 0

$-3+\dfrac{9}{x^2}=0$

- 3 \frac{x^{2}}{2} + 9 = 0

$-3\dfrac{x^2}{2}+9=0$

- 3 x + 9 = 0

$-3x+9=0$

- 3 x^{2} + 9 y = 0

$-3x^2+9y=0$

Câu 10: Chọn đáp án đúng nhất

Phương trình

- 2 x^{2} + x - 3 = 0

$-2x^2+x-3=0$ có biệt thức

Δ

$\Delta$ bằng:

A. 23

B. –23

C. 0

D. 2

Hiển thị phần đáp án

Câu 1: Chọn đáp án đúng nhất

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A. $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

$a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$

trong đó a, b, c là các số thực cho trước và x là ẩn số.

Câu 2: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: A. vô nghiệm

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A. vô nghiệm

Xét phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ và biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Nếu $Δ < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Câu 3: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: D.

x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a}

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D. $x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a}$

Xét phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ và biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c$

Nếu $Δ = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a}$ $x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a}$ $x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a}$

Câu 4: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: B. có hai nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B. có hai nghiệm phân biệt

Xét phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ và biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c$ $b^2-4ac$

Nếu $a, c$ trái dấu thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Câu 5: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: C.

x_{1, 2} = \frac{- b^{'} \pm \sqrt{Δ^{'}}}{a}

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. $x_{1, 2} = \frac{- b^{'} \pm \sqrt{Δ^{'}}}{a}$

Xét phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ với b = 2b'. Gọi biệt thức $Δ^{'} = b^{' 2} - a c$ .

Nếu $Δ^{'} > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1, 2} = \frac{- b^{'} \pm \sqrt{Δ^{'}}}{a}$

Câu 6: Chọn đáp án đúng nhất

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A. A = 0 hoặc B = 0

Nếu A . B = 0 thì A = 0 hoặc B = 0.

Câu 7: Chọn đáp án đúng nhất

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D. A = $\sqrt{B}$ hoặc A = – $\sqrt{B}$

Nếu $A^{2} = B (B \geq 0)$ thì A = $\sqrt{B}$ hoặc A = – $\sqrt{B}$ .

Câu 8: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: C.

a = 3, b = 12, c = - 1

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. $a = 3, b = 12, c = - 1$

Các hệ số $a, b, c$ của phương trình $3 x^{2} + 12 x - 1 = 0$ là: $a = 3, b = 12, c = - 1$ .

Câu 9: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: B.

- 3 \frac{x^{2}}{2} + 9 = 0

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B. − $- 3 \frac{x^{2}}{2} + 9 = 0$

Phương trình bậc hai một ẩn là − $- 3 \frac{x^{2}}{2} + 9 = 0$ .

Câu 10: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: B. –23

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B. –23

Phương trình $- 2 x^{2} + x - 3 = 0$ có biệt thức $Δ$ bằng: $Δ = 1^{2} - 4. (- 2) . (- 3) = - 23$

Bài tập Trung bình:

Câu 1: Chọn đáp án đúng nhất

Phương trình

5 x^{2} - 7 x = 0

$5x^2-7x=0$ có nghiệm là:

x = 0; x = - \frac{7}{5}

$x=0;x=-\dfrac{7}{5}$

x = 0; x = \frac{7}{5}

$x=0;x=\dfrac{7}{5}$

x = 0; x = - \frac{5}{7}

$x=0;x=-\dfrac{5}{7}$

x = 0; x = \frac{5}{7}

$x=0;x=\dfrac{5}{7}$

Câu 2: Chọn đáp án đúng nhất

Phương trình

x^{2} - 6 x + 5 = 0

$x^2-6x+5=0$ có mấy nghiệm:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 3: Chọn đáp án đúng nhất

Phương trình

3 x^{2} + 12 x + 1 = 0

$3x^2+12x+1=0$ có nghiệm là:

x = \frac{- 6 \pm \sqrt{33}}{3}

$x=\dfrac{-6\pm\sqrt{33}}{3}$

x = \frac{6 \pm \sqrt{33}}{3}

$x=\dfrac{6\pm\sqrt{33}}{3}$

x = \frac{- 6 \pm \sqrt{33}}{6}

$x=\dfrac{-6\pm\sqrt{33}}{6}$

x = \frac{6 \pm \sqrt{33}}{6}

$x=\dfrac{6\pm\sqrt{33}}{6}$

Câu 4: Chọn đáp án đúng nhất

Phương trình

(2 x - \frac{1}{2})^{2} - 0, 25 = 0

$\bigg(2x-\dfrac{1}{2}\bigg)^2-0,25=0$ có nghiệm là:

x = - \frac{1}{4}; x = 0

$x=-\dfrac{1}{4};x=0$

x = \frac{1}{4}; x = 0

$x=\dfrac{1}{4};x=0$

x = - \frac{1}{2}; x = 0

$x=-\dfrac{1}{2};x=0$

x = \frac{1}{2}; x = 0

$x=\dfrac{1}{2};x=0$

Câu 5: Chọn đáp án đúng nhất

Phương trình

x^{2} + 2 \sqrt{2} x = 0

$x^2+2\sqrt{2}x=0$ có mấy nghiệm là số tự nhiên?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 6: Chọn đáp án đúng nhất

Phương trình

2 x^{2} - 2 \sqrt{2} x + 1 = 0

$2x^2-2\sqrt{2}x+1=0$

A. không có nghiệm nào.

B. có 2 nghiệm

x = \frac{\sqrt{2}}{2}; x = - \frac{\sqrt{2}}{2}

$x=\dfrac{\sqrt{2}}{2};x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

C. có nghiêm kép

x = \frac{\sqrt{2}}{2}

$x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

D. có nghiệm kép

x = - \frac{\sqrt{2}}{2}

$x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

Câu 7: Chọn đáp án đúng nhất

Phương trình

- 3 x^{2} + 4 \sqrt{6} x + 4 = 0

$-3x^2+4\sqrt{6}x+4=0$ có hai nghiệm phân biệt. Tính tổng hai nghiệm đó.

x_{1} + x_{2} = 4

$x_1+x_2=4$

x_{1} + x_{2} = - 4

$x_1+x_2=-4$

x_{1} + x_{2} = \sqrt{6}

$x_1+x_2=\sqrt{6}$

x_{1} + x_{2} = \frac{4 \sqrt{6}}{3}

$x_1+x_2=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}$

Câu 8: Chọn đáp án đúng nhất

Phương trình

2 x^{2} + 2 \sqrt{11} x - 7 = 0

$2x^2+2\sqrt{11}x-7=0$ có hai nghiệm phân biệt . Tính tổng hai nghiệm đó.

x_{1} + x_{2} = - \sqrt{11}

$x_1+x_2=-\sqrt{11}$

x_{1} + x_{2} = \sqrt{11}

$x_1+x_2=\sqrt{11}$

x_{1} + x_{2} = - \frac{\sqrt{11}}{2}

$x_1+x_2=-\dfrac{\sqrt{11}}{2}$

x_{1} + x_{2} = \frac{\sqrt{11}}{2}

$x_1+x_2=\dfrac{\sqrt{11}}{2}$

Câu 9: Chọn đáp án đúng nhất

Phương trình

x^{2} + 2 \sqrt{2} x = 0

$x^2+2\sqrt{2}x=0$ có bao nhiêu nghiệm nguyên âm?

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Câu 10: Chọn đáp án đúng nhất

Phương trình

x^{2} + 2 \sqrt{5} x + 4 = 0

$x^2+2\sqrt{5}x+4=0$ có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Hiển thị phần đáp án

Câu 1: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: B.

x = 0; x = \frac{7}{5}

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B. $x = 0; x = \frac{7}{5}$

$5 x^{2} - 7 x = 0$

$x (5 x - 7) = 0$

x = 0 hoặc x = $\frac{7}{5}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 0; x = \frac{7}{5}$ .

Câu 2: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: C. 2

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. 2

Ta có: Δ = (–6)² – 4 . 1 . 5 = 16 > 0.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Câu 3: Chọn đáp án đúng nhất

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A. $x = \frac{- 6 \pm \sqrt{33}}{3}$

Ta có: Δ' = 6² – 3 . 1 = 33 > 0.

Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là $x = \frac{- 6 \pm \sqrt{33}}{3}$ .

Câu 4: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: D.

x = \frac{1}{2}; x = 0

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D. $x = \frac{1}{2}; x = 0$

$(2 x - \frac{1}{2})^{2} - 0, 25 = 0$

Suy ra $(2 x - \frac{1}{2})^{2} = 0, 25$

Suy ra $2 x - \frac{1}{2} = 0, 5$ hoặc $2 x - \frac{1}{2} = - 0, 5$

Suy ra $x = \frac{1}{2}$ hoặc $x = 0$ .

Câu 5: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: B. 1

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B. 1

$x^{2} + 2 \sqrt{2} x = 0$

$x (x + 2 \sqrt{2}) = 0$

$x = 0 \in N$ hoặc $x = 2 \sqrt{2} \notin N$ .

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là số tự nhiên.

Câu 6: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: C. có nghiêm kép

x = \frac{\sqrt{2}}{2}

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. có nghiêm kép $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ta có: Δ' = $(- \sqrt{2})^{2} - 2.1 = 0$ nên phương trình có nghiệm kép

$x = - \frac{b^{'}}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Câu 7: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: D.

x_{1} + x_{2} = \frac{4 \sqrt{6}}{3}

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D. $x_{1} + x_{2} = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$

Ta có: Δ' = $(2 \sqrt{6})^{2} - (- 3) .4 = 36$ > 0.

Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là $x_{1} = \frac{2 \sqrt{6} - 6}{3}$ ; $x_{2} = \frac{2 \sqrt{6} + 6}{3}$

Vậy $x_{1} + x_{2} = \frac{2 \sqrt{6} - 6}{3} + \frac{2 \sqrt{6} + 6}{3} = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ .

Câu 8: Chọn đáp án đúng nhất

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A. $x_{1} + x_{2} = - \sqrt{11}$

Ta có: Δ' = 11 – 2 . (–7) = 25 > 0.

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt là $x_{1} = \frac{- \sqrt{11} + 5}{2}$ ; $x_{2} = \frac{- \sqrt{11} - 5}{2}$ .

Vậy tổng hai nghiệm là: $x_{1} + x_{2} = \frac{- \sqrt{11} + 5}{2} + \frac{- \sqrt{11} - 5}{2} = - \sqrt{11}$ .

Câu 9: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: C. 1

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. 1

$x^{2} + 2 \sqrt{2} x = 0$

$x (x + 2 \sqrt{2}) = 0$

$x = 0$ hoặc $x = - 2 \sqrt{2}$

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm nguyên âm.

Câu 10: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: A. 0

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A. 0

$x^{2} + 2 \sqrt{5} x + 4 = 0$ có Δ' = 5 – 1 . 4 = 1 > 0.

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_{1} = \frac{- \sqrt{5} - 1}{2}$ < 0; $x_{2} = \frac{- \sqrt{5} + 1}{2}$ <0.

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương.

Bài tập Nâng cao:

Câu 1: Chọn đáp án đúng nhất

Phương trình

(m^{2} + 2) x^{2} - 5 = 0

$(m^2+2)x^2-5=0$ với

m \in R

$m\in \mathbb R$ có nghiệm:

x = \sqrt{\frac{- 5}{m^{2} + 2}}

$x = \sqrt{\dfrac{-5}{m^2+2}}$ ;

x = - \sqrt{\frac{- 5}{m^{2} + 2}}

$x =-\sqrt{\dfrac{-5}{m^2+2}}$

x = \sqrt{\frac{5}{m^{2} + 2}}

$x = \sqrt{\dfrac{5}{m^2+2}}$ ;

x = \sqrt{\frac{- 5}{m^{2} + 2}}

$x =\sqrt{\dfrac{-5}{m^2+2}}$

x = \sqrt{\frac{5}{m^{2} + 2}}

$x = \sqrt{\dfrac{5}{m^2+2}}$ ;

x = - \sqrt{\frac{5}{m^{2} + 2}}

$x =-\sqrt{\dfrac{5}{m^2+2}}$

x = \sqrt{\frac{m^{2} + 2}{5}}

$x = \sqrt{\dfrac{m^2+2}{5}}$ ;

x = - \sqrt{\frac{m^{2} + 2}{5}}

$x = -\sqrt{\dfrac{m^2+2}{5}}$

Câu 2: Chọn đáp án đúng nhất

Với giá trị nào của tham số m thì phương trình

4 x^{2} + m^{2} x + 4 m = 0

$4x^2+m^2x+4m=0$ có nghiệm x = 1?

A. m = –4

B. m = 4

C. m = 2

D. m = –2

Câu 3: Chọn đáp án đúng nhất

Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình

x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} - 2 m + 3 = 0

$x^2-(2m+1)x+m^2-2m+3=0$ có nghiệm

x = 2

$x=2$ ?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 4: Chọn đáp án đúng nhất

Phương trình

\sqrt{3} x^{2} - (1 - \sqrt{3}) x - 1 = 0

$\sqrt{3}x^2-(1-\sqrt{3})x-1=0$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 2

B. 3

C. 0

D. 1

Câu 5: Chọn đáp án đúng nhất

Cho phương trình

4 x^{2} + 4 m x + m + 6 = 0 (1)

$4x^2+4mx+m+6=0\space(1)$ . Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép.

A. m = 2 hoặc m = –3

B. m = 3 hoặc m = –2

C.m = 2 hoặc m = 3

D. m = –2 hoặc m = –3

Câu 6: Chọn đáp án đúng nhất

Cho phương trình $(2m-3)x^2-2(m-2)x-1=0$ với m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

m > \frac{3}{2}

$m> \dfrac{3}{2}$ và

m \neq 1

$m\ne1$

m < \frac{3}{2}

$m< \dfrac{3}{2}$ và

m \neq 1

$m\ne1$

m \neq \frac{3}{2}

$m\ne \dfrac{3}{2}$ và

m \neq 1

$m\ne1$

m \leq \frac{3}{2}

$m\le \dfrac{3}{2}$ và

m \neq 1

$m\ne1$

Câu 7: Chọn đáp án đúng nhất

Cho hai phương trình

x^{2} + 2 x - 2 m + 7 = 0

$x^2+2x-2m+7=0$ và

x^{2} + 6 x + m^{2} + 6 = 0

$x^2+6x+m^2+6=0$ . Chọn đáp án đúng.

A. Cả hai phương trình luôn vô nghiệm.

B. Mỗi phương trình đều có ít nhất một nghiệm.

C. Ít nhất một trong hai phương trình vô nghiệm.

D. Hai phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Câu 8: Chọn đáp án đúng nhất

Với giá trị nào của m, hai phương trình sau có nghiệm chung: (1)

2 x^{2} - (3 m + 2) x + 12 = 0

$2x^2-(3m+2)x+12=0$ và (2)

4 x^{2} - (9 m - 2) x + 36 = 0

$4x^2-(9m-2)x+36=0$ ?

A. m = –3

B. m = 3

C. m = 2

D. m = –2

Câu 9: Chọn đáp án đúng nhất

Cho phương trình

x^{2} + (a + b + c) x + (a b + b c + c) = 0

$x^2+(a+b+c)x+(ab+bc+c)=0$ với

a, b, c

$a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chọn đáp án đúng:

A. Phương trình luôn vô nghiệm.

B. Phương trình luôn có nghiệm.

C. Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

D. Không xác định được số nghiệm của phương trình.

Câu 10: Chọn đáp án đúng nhất

Cho phương trình

x^{2} - 4 m^{2} x - 4 m - 2 = 0

$x^2-4m^2x-4m-2=0$ . Chọn đáp án đúng:

A. Phương trình luôn vô nghiệm.

B. Phương trình luôn có nghiệm.

C. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

D. Không xác định được số nghiệm của phương trình.

Hiển thị phần đáp án

Câu 1: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: C.

x = \sqrt{\frac{5}{m^{2} + 2}}

;

x = - \sqrt{\frac{5}{m^{2} + 2}}

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. $x = \sqrt{\frac{5}{m^{2} + 2}}$ ; $x = - \sqrt{\frac{5}{m^{2} + 2}}$

$(m^{2} + 2) x^{2} - 5 = 0$

suy ra $x^{2} = \frac{5}{m^{2} + 2}$

suy ra $x = \sqrt{\frac{5}{m^{2} + 2}}$ hoặc $x = - \sqrt{\frac{5}{m^{2} + 2}}$

(vì $m^{2} \geq 0$ với mọi m nên $m^{2} + 2 > 0$ với mọi m).

Câu 2: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: D. m = –2

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D. m = –2

Để phương trình $4 x^{2} + m^{2} x + 4 m = 0$ có nghiệm x = 1 thì

${4.1}^{2} + m^{2} .1 + 4 m = 0$ hay $m^{2} + 4 m + 4 = 0$ hay $(m + 2)^{2} = 0$ suy ra m = –2.

Câu 3: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: C. 2

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. 2

Để phương trình $x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} - 2 m + 3 = 0$ có nghiệm $x = 2$ thì

$2^{2} - (2 m + 1) .2 + m^{2} - 2 m + 3 = 0$ hay $m^{2} - 6 m + 5 = 0$

suy ra $(m - 1) (m - 5) = 0$ suy ra m = 1 hoặc m = 5.

Vậy có 2 giá trị của m để phương trình có nghiệm x = 2.

Câu 4: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: D. 1

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D. 1

$\sqrt{3} x^{2} - (1 - \sqrt{3}) x - 1 = 0$ có Δ = $(1 - \sqrt{3})^{2} - 4. \sqrt{3} . (- 1) = 4 + 2 \sqrt{3}$ > 0, $\sqrt{Δ} = \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^{2}} = \sqrt{3} + 1$

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

$x_{1} = \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{3}} = - 1 \in Z$ ; $x_{2} = \frac{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \notin Z$

Vậy phương trình có 1 nghiệm nguyên.

Câu 5: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: B. m = 3 hoặc m = –2

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B. m = 3 hoặc m = –2

$4 x^{2} + 4 m x + m + 6 = 0 (1)$ có Δ' = 4m² – 4m – 24.

Phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi Δ' = 0.

Suy ra 4m² – 4m – 24 = 0 hay m² – m – 6 = 0.

Xét m² – m – 6 = 0 có Δ = 1 – 4 . 1 . (–6) = 25 > 0.

Suy ra m² – m – 6 = 0 có 2 nghiệm là m = 3 hoặc m = –2.

Vậy m = 3 hoặc m = –2 thì phương trình (1) có nghiệm kép.

Câu 6: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: C.

m \neq \frac{3}{2}

và

m \neq 1

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. $m \neq \frac{3}{2}$ và $m \neq 1$

Xét hai trường hợp:

♦ Với $m = \frac{3}{2}$ thì phương trình đã cho trở thành x – 1 = 0 suy ra x = 1.

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

♦ Với $m \neq \frac{3}{2}$ thì phương trình $(2 m - 3) x^{2} - 2 (m - 2) x - 1 = 0$ là phương trình bậc hai có $Δ^{'} = (m - 2)^{2} + (2 m - 3) = (m - 1)^{2} \geq 0, \forall x \in R$ .

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m \neq \frac{3}{2}$ và Δ' > 0 hay $m \neq \frac{3}{2}$ và $m \neq 1$ .

Câu 7: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: C. Ít nhất một trong hai phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. Ít nhất một trong hai phương trình vô nghiệm.

Đặt $x^{2} + 2 x - 2 m + 7 = 0$ (1) và $x^{2} + 6 x + m^{2} + 6 = 0$ (2).

Ta có: $Δ_{1}^{'} = 1 + 2 m - 7 = 2 m - 6$ và $Δ_{2}^{'} = 3^{2} - (m^{2} + 6) = 3 - m^{2}$ .

Suy ra $Δ_{1}^{'} + Δ_{2}^{'} = 2 m - 6 + 3 - m^{2} = - (m^{2} - 2 m + 1) - 2 = - (m - 1)^{2} - 2 < 0$ với mọi $m \in R$ .

Do đó trong hai số $Δ_{1}^{'}$ và $Δ_{2}^{'}$ có ít nhất một số nhỏ hơn 0.

Hay có ít nhất một trong hai phương trình trên vô nghiệm.

Câu 8: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: B. m = 3

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B. m = 3

Gọi $x_{0}$ là một nghiệm chung của hai phương trình, ta có:

${\begin{cases} 2 x_{0}^{2} - (3 m + 2) x_{0} + 12 = 0 \\ 4 x_{0}^{2} - (9 m - 2) x_{0} + 36 = 0 \end{cases}$

Suy ra $4 x_{0}^{2} - (9 m - 2) x_{0} + 36 - 2 [2 x_{0}^{2} - (3 m + 2) x_{0} + 12] = 0$ hay $(- 3 m + 6) x_{0} + 12 = 0$ (*).

♦ Nếu $- 3 m + 6 = 0$ hay m = 2 thì phương trình (*) vô nghiệm.

♦ Nếu $- 3 m + 6 \neq 0$ hay m $\neq$ 2 thì phương trình (*) có 1 nghiệm là $x = \frac{12}{3 m - 6} = \frac{4}{m - 2}$ .

Thay $x = \frac{4}{m - 2}$ vào (1) ta được $2 (\frac{4}{m - 2})^{2} - (3 m + 2) . \frac{4}{m - 2} + 12 = 0$

hay $16 - 2 (3 m + 2) (m - 2) + 6 (m - 2)^{2} = 0$ suy ra $- 16 m + 48 = 0$ suy ra m = 3.

Vậy với m= 3 thì 2 phương trình đã cho có nghiệm chung.

Câu 9: Chọn đáp án đúng nhất

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A. Phương trình luôn vô nghiệm.

Ta có: Δ = $(a + b + c)^{2} - 4 (a b + b c + c a) = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a b + 2 b c - 2 c a$ .

Vì $a < b + c$ nên $a^{2} < a b + c a$ . Tương tự $b^{2} < a b + b c$ , $c^{2} < c a + a b$ .

Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:

$a^{2} + b 2 + c^{2} < 2 a b + 2 b c + 2 c a$ hay $a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a b + 2 b c - 2 c a < 0$ .

Suy ra Δ < 0. Vậy phương trình đã cho luôn vô nghiệm.

Câu 10: Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án đúng là: C. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

$x^{2} - 4 m^{2} x - 4 m - 2 = 0$ có Δ' = $4 m^{4} + 4 m + 2 = 2 (2 m^{4} + 2 m + 1)$

Mà $2 m^{4} + 2 m + 1 = 2 (m^{4} - m^{2} + \frac{1}{4}) + 2 (m^{2} + m + \frac{1}{4})$

$= 2 (m^{2} - \frac{1}{2})^{2} + 2 (m + \frac{1}{2})^{2} \geq 0$ (do $(m^{2} - \frac{1}{2})^{2} \geq 0; (m + \frac{1}{2})^{2} \geq 0$ với mọi giá trị của m).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m^{2} - \frac{1}{2} = 0$ và $m + \frac{1}{2} = 0$ hay $m^{2} = \frac{1}{2}$ và $m = - \frac{1}{2}$ (vô lí).

Do đó $2 (m^{2} - \frac{1}{2})^{2} + 2 (m + \frac{1}{2})^{2} > 0$ với mọi giá trị của m hay Δ' > 0.

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm.