Hiển thị phần đáp án

△ABC có: AD là tia phân giác của BACˆ (giả thiết)

⇒\(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\) (định lí tính chất đường phân giác của tam giác)

Vậy đáp án đúng là A. \(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\)

 

Hiển thị phần đáp án

△MNP có:

NH là tia phân giác của \(\widehat{MNP}\) (giả thiết)

⇒\(\frac{NM}{NP}=\frac{HM}{HP}\) (định lí tính chất đường phân giác của tam giác)

⇒\(\frac{5}{9}=\frac{3}{x}\)

⇒\(x=\frac{3.9}{5}=5,4\)

Vậy đáp án đúng là D. x=5,4

 

Hiển thị phần đáp án

△ABC  có:

AD là tia phân giác của BACˆ (giả thiết)

⇒\(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\) (định lí tính chất đường phân giác của tam giác)

⇒\(\frac{DB}{DC}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\)

⇒\(\frac{DB}{DB+DC}=\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}\) hay \(\frac{DB}{BC}=\frac{3}{8}\)

⇒\(DB=\frac{3.BC}{8}=\frac{3.32}{8}=12(cm)\)

Lại có: DB+DC=BC

⇒DC=BC−DB=32−12=20(cm)

Vậy đáp án đúng là C. DB=12cm;DC=20cm

 

Hiển thị phần đáp án

△ABC  vuông tại A (giả thiết)

⇒\(AB^2+AC^2=BC^2\) ( định lí Py-ta-go)

⇒\(AB^2+AC^2=(DB+DC)^2=(18+24)^2=42^2=1764\)

△ABC có:

AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (giả thiết)

⇒\(\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}\) (định lí tính chất đường phân giác của tam giác)

⇒\(\frac{AB}{AC}=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}\)

⇒\(\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}\)

⇒\(\frac{AB^2}{9}=\frac{AC^2}{16}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{AB^2}{9}=\frac{AC^2}{16}=\frac{AB^2+AC^2}{9+16}=\frac{1764}{25}=70,56\)

⇒ \(\begin{cases} AC^2=16.70,56=1128,96 \\ AB^2=9.70,56=635,04 \end{cases}\)

⇒ \(\begin{cases} AC=33,6(cm) \\ AB=25,2(cm) \end{cases}\)

Vậy đáp án đúng là D. AC=33,6cm,AB=25,2cm

 

Hiển thị phần đáp án

△ABC  có:

AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (giả thiết)

⇒\(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\) (định lí tính chất đường phân giác của tam giác)

⇒\(\frac{DB}{DC}=\frac{3}{4}\)

Lại có: \(\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{AH.BD}{2}}{\frac{AH.CD}{2}}= \frac{BD}{CD}=\frac{3}{4}\)

Vậy ta cần điền vào ô trống lần lượt là \(\frac{3}{4}\)

Nhận xét: Hai tam giác có chung đường cao thì tỉ lệ hai tam giác đó bằng tỉ lệ hai cạnh đáy tương ứng.

 

Hiển thị phần đáp án

△MNP  có: ND là phân giác ngoài của \(\widehat{MNP}\) (giả thiết)

⇒\(\frac{NM}{NP}=\frac{DM}{DP}\) (định lí tính chất đường phân giác của tam giác)

⇒\(\frac{DM}{DP}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\)

⇒\(\frac{DM}{DM+MP}=\frac{2}{3}\) hay \(\frac{DM}{DM+5}=\frac{2}{3}\)

⇒3.DM=2.DM+10

⇒DM=10(cm)

Vậy đáp án đúng là DM=10cm

 

Hiển thị phần đáp án

\(\frac{S_{△ABD}}{S_{△CBD}}=\frac{\frac{BH.AD}{2}}{\frac{BH.DC}{2}}=\frac{AD}{DC}\)

Vậy dấu cần điền vào ô trống là "="

Nhận xét: Hai tam giác có chung đường cao thì tỉ lệ hai tam giác đó bằng tỉ lệ hai cạnh đáy tương ứng.

 

Hiển thị phần đáp án

△ABC  có:

AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (giả thiết)

⇒\(\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}\) (định lí tính chất đường phân giác của tam giác)

⇒\(\frac{6}{10}=\frac{x}{y}\)

⇒\(\frac{x}{6}=\frac{y}{10}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{6}=\frac{y}{10}=\frac{x+y}{6+10}=\frac{15}{16}\)

⇒\(\begin{cases} x=\frac{6.15}{16}=5,625(cm) \\ y=\frac{10.15}{16}=9,375(cm) \end{cases}\)

Vậy đáp án đúng là C. x=5,625cm;y=9,375cm

 

Hiển thị phần đáp án

Đáp án đúng là: A. Đúng

 

Hiển thị phần đáp án

△ABC  có:

AD là tia phân giác của BACˆ (giả thiết)

⇒\(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\) (định lí tính chất đường phân giác của tam giác)

⇒\(\frac{x}{y}=\frac{5}{7}\)

Vậy đáp án đúng là B. \(\frac{x}{y}=\frac{5}{7}\)

 

Hiển thị phần đáp án

△ABC  có: HK//BC (giả thiết)

⇒\(\frac{AK}{KB}=\frac{HA}{HC}\) (định lí Ta-lét)

⇒\(\frac{3}{5}=\frac{4,5}{y}\)

⇒\(y=\frac{4,5.5}{3}=7,5(cm)\)

△ABC có: BH là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) (giả thiết)

⇒\(\frac{BA}{BC}=\frac{HA}{HC}\) (định lí tính chất đường phân giác của tam giác)

⇒\(\frac{3+5}{x}=\frac{4,5}{7,5}\)

⇒\(\frac{8}{x}=\frac{4,5}{7,5}\)

⇒\(x=\frac{8.7,5}{4,5}≈13,3(cm)\)

Vậy đáp án đúng là A. x≈13,3cm;y=7,5cm

 

Hiển thị phần đáp án

△ABC  có: AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (giả thiết)

⇒\(\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}\) (định lí tính chất đường phân giác của tam giác)

⇒\(\frac{20}{40}=\frac{DB}{DC} ⇒\frac{DB}{20}=\frac{DC}{40}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{DB}{20}=\frac{DC}{40}=\frac{DB+DC}{20+40}=\frac{54}{60}=\frac{9}{10}\)

⇒\(\begin{cases} DB=\frac{20.9}{10}=18(cm) \\ DC=\frac{40.9}{10}=36(cm) \end{cases}\)

Xét △ABC có: DE//AB (giả thiết)

⇒\(\frac{DE}{AB}=\frac{DC}{BC}\) (định lí Ta-lét)

Hay \(\frac{DE}{20}=\frac{36}{54} ⇒DE=\frac{36.20}{54}=13,3(cm)\)

Vậy số cần điền vào ô trống là 13,3

 

Hiển thị phần đáp án

△ABC  có: BN,CM lần lượt là phân giác của \(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{ACB}\) (giả thiết)

⇒\(\begin{cases} \frac{AM}{BM}=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a} \\ \frac{AN}{CN}=\frac{AB}{BC}=\frac{b}{a} \end{cases}\) (định lí tính chất đường phân giác trong tam giác)

⇒\(\frac{AM}{BM}=\frac{AN}{CN}\)

⇒MN//BC (định lí Ta-lét đảo)

Xét △ABC có: MN//BC (chứng minh trên)

⇒\(\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}\) (định lí Ta-lét)

Hay \(\frac{MN}{a}=\frac{AN}{b}\) (1)

Lại có: \(\frac{AN}{CN}=\frac{b}{a}\) (chứng minh trên)

⇒\(\frac{AN}{AN+CN}=\frac{b}{b+a}\) hay \(\frac{AN}{b}=\frac{AN+CN}{b+a}=\frac{AC}{b+a}=\frac{b}{b+a}\)

⇒\(AN=\frac{b^2}{b+a}\)

Thay AN vào (1) ta được:

\(\frac{MN}{a}=\frac{\frac{b^2}{b+a}}{b}\)

 ⇒\(MN=\frac{a.b}{a+b}\)

Vậy đáp án đúng là C. \(MN=\frac{a.b}{a+b}\)

 

Hiển thị phần đáp án

△ABC có: BD và CE lần lượt là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{ACB}\) (giả thiết)

⇒\(\begin{cases} \frac{AC}{BC}=\frac{AE}{EB}=\frac{5}{6} \\ \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}=\frac{2}{3} \end{cases}\) (định lí tính chất đường phân giác của tam giác)

⇒\(\begin{cases} \frac{AC}{5}=\frac{BC}{6} \\ \frac{AB}{2}=\frac{BC}{3}⇒\frac{AB}{4}=\frac{BC}{6} \end{cases}\)

⇒\(\frac{AB}{4}=\frac{AC}{5}=\frac{BC}{6}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{AB}{4}=\frac{AC}{5}=\frac{BC}{6}=\frac{AB+AC+BC}{4+5+6}=\frac{60}{15}=4\)

Do đó

AC=4.5=20cm

AB=4.4=16cm

BC=4.6=24cm

Vậy số cần điền vào ô trống lần lượt là 16; 20; 24

 

Hiển thị phần đáp án

△DEF vuông tại D (giả thiết)

⇒\(DE^2+DF^2=EF^2\) (định lí Py-ta-go)

Hay \(x^2+y^2=(15+20)^2=1225\)

△DEF có: DH là tia phân giác của \(\widehat{EDF}\) (giả thiết)

⇒\(\frac{DE}{DF}=\frac{HE}{HF}\) (định lí tính chất đường phân giác của tam giác)

⇒\(\frac{x}{y}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}\)

⇒\(\frac{x}{3}=\frac{y}{4}⇒\frac{x^2}{9}=\frac{y^2}{16}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x^2}{9}=\frac{y^2}{16}=\frac{x^2+y^2}{9+16}=\frac{1225}{25}=49\)

Do đó

\(x^2=49.9=441⇒x=21(cm)\)

\(y^2=49.16=784⇒y=28(cm)\)

Vậy số cần điền vào ô trống lần lượt là 21; 28

 

Hiển thị phần đáp án

△ABC  có: DE//BC (giả thiết)

⇒\(\frac{EA}{EB}=\frac{DA}{DC}\) (định lí Ta-lét)

⇒\(\frac{4}{9}=\frac{8}{x}\)

⇒\(x=\frac{8.9}{4}=18(cm)\)

△ABC có: BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) (giả thiết)

⇒\(\frac{BA}{BC}=\frac{DA}{DC}\) (định lí tính chất đường phân giác của tam giác)

⇒\(\frac{4+9}{y}=\frac{8}{18}\) hay \(\frac{13}{y}=\frac{8}{18}\)

⇒\(y=\frac{13.18}{8}=29,25(cm)\)

Vậy số cần điền vào ô trống lần lượt là 18; 29,25

 

Hiển thị phần đáp án

△MNP  vuông tại M (giả thiết)

⇒\(MN^2+MP^2=NP^2\) (định lí Py-ta-go)

⇒\(NP^2−MN^2=MP^2\) hay \(y^2−x^2=(4+5)^2=81\)

△MNP có: NK là tia phân giác của \(\widehat{MNP}\) (giả thiết)

⇒\(\frac{NM}{NP}=\frac{KM}{KP}\) (định lí tính chất đường phân giác của tam giác)

⇒\(\frac{x}{y}=\frac{4}{5}\)

⇒\(\frac{x}{4}=\frac{y}{5}\)

⇒\(\frac{x^2}{16}=\frac{y^2}{25}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x^2}{16}=\frac{y^2}{25}=\frac{y^2−x^2}{25−16}=\frac{8}{19}=9\)

⇒\(\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=3\)

⇒ x=3.4=12cm; y=3.5=15cm

Vậy số cần điền vào ô trống lần lượt là 12; 15

 

Hiển thị phần đáp án

△ABC vuông tại A (giả thiết)

⇒\(AB^2+AC^2=BC^2\) (định lí Py-ta-go)

⇒\(AC^2=BC^2−AB^2=5^2−3^2=16\)

⇒AC=4(cm)

△ABC có:

AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (giả thiết)

⇒\(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\) (định lí tính chất đường phân giác của tam giác)

⇒\(\frac{DB}{DC}=\frac{3}{4}\)

Lại có: \(\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{AH.BD}{2}}{\frac{AH.CD}{2}=\frac{BD}{CD}}=\frac{3}{4}\)

Vậy ta cần điền vào ô trống là \(\frac{3}{4}\)

Nhận xét: Hai tam giác có chung đường cao thì tỉ lệ hai tam giác đó bằng tỉ lệ hai cạnh đáy tương ứng.

 

Hiển thị phần đáp án

Ta có:

BD⊥AC(giả thiết) 

CF⊥AC(giả thiết)}  

⇒BD//CF (từ vuông góc đến song song)

⇒\(\widehat{B_1}=\widehat{C_2}\) (cặp góc so le trong)

△ACF có: BD//CF (chứng minh trên)

⇒\(\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AF}\) (định lí Ta-lét) (1)

Lại có:

△ABC cân tại A (giả thiết)

⇒AB=AC(tính chất tam giác cân) và \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(định nghĩa tam giác cân) (2) 

Xét tam giác vuông ABD và tam giác vuông ACE có:

+ \(\widehat{A}\) chung

+ AB=AC (chứng minh trên)

⇒△ABD=△ACE (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒AD=AE (cặp cạnh tương ứng) (3)

Từ (1),(2) và (3) ⇒\(AB^2=AE.AF\)

Xét Xét tam giác vuông BEC và tam giác vuông BDC có:

+ \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (chứng minh trên)

+ BC chung

⇒△BEC=△BDC (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒\(\widehat{B_1}=\widehat{C1}\) (cặp góc tương ứng)

Lại có: \(\widehat{B_1}=\widehat{C2}\) (chứng minh trên)

⇒\(\widehat{C1}=\widehat{C2}\)

⇒ CB là tia phân giác của \(\widehat{CEF}\)

⇒\(\frac{CE}{CF}=\frac{BE}{BF}\) (tính chất đường phân giác của tam giác)

Vậy những đáp án đúng là A, C và D

 

Hiển thị phần đáp án

△ABC có:

AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (giả thiết)

⇒\(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\) (định lí tính chất đường phân giác của tam giác)

⇒\(\frac{DB}{DC}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}\)

⇒\(\frac{DB}{2}=\frac{DC}{5} \)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Vậy đáp án đúng là C. DB=4cm;DC=10cm