Tứ giác
A: Bài tập cơ bản
Câu 1:Điền kết quả vào ô trống
Cho tứ giác sau:
Tứ giác ABCD có hai đường chéo là …..
Hai đường chéo của tứ giác ABCD là AC và BD.
Vậy cần điền vào ô trống là AC;BD
Câu 2: Lựa chọn đáp án đúng nhất
Trong một tứ giác có nhiều nhất:
A. 1 góc vuông
B. 2 góc vuông
C. 3 góc vuông
D. 4 góc vuông
Gọi n là số góc vuông trong một tứ giác (n>0).
Ta đi tìm giá trị lớn nhất của n.
Ta có:
90°.n≤360°
⇒n≤4
⇒\(n_{max}=4\)
Do đó trong một tứ giác có nhiều nhất là 4 góc vuông.
Vậy đáp án là D.
Câu 3:Lựa chọn đáp án đúng nhất
Trong một tứ giác, tổng số đo các góc là:
A. 360°
B. 180°
C. 240°
D. 300°
Theo định lý, tổng các góc trong một tứ giác là 360°.
Vậy đáp án là A.
Câu 4: Điền kết quả vào ô trống
Cho tứ giác ABCD trong hình sau:
x= …..
Trong tứ giác ABCD, ta có:
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°\)
⇒120°+80°+x+110°=360°
⇒310°+x=360°
⇒x=360°−310°
⇒x=50°
Vậy cần điền vào ô trống là 50°.
Câu 5: Điền kết quả vào ô trống
Cho tứ giác ABCD trong hình sau
Có \(\widehat{A}=100°;\widehat{C}=60°\);AB=AD;BC=CD. Tính \(\widehat{B}+\widehat{D}= .....\)
Trong tứ giác ABCD, ta có:
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°\) (Định lý)
⇒\(100°+\widehat{B}+60°+\widehat{D}=360°\)
⇒\(160°+\widehat{B}+\widehat{D}=360°\)
⇒\(\widehat{B}+\widehat{D}=360°−160°\)
⇒\(\widehat{B}+\widehat{D}=200°\)
Vậy cần điền vào ô trống là 200°.
Câu 6: Điền kết quả vào ô trống
Cho tứ giác ABCD có \(\widehat{A}=130°;\widehat{B}=90°\). Góc ngoài tại đỉnh C có số đo là 120°. Tính \(\widehat{BCD}= .....\)
Gọi \(\widehat{BCD}\) là góc \(\widehat{C_1}\)
Do hai góc \(\widehat{DCx}\) và \(\widehat{C_1}\) kề bù nhau nên:
\(\widehat{DCx}+\widehat{C_1}=180°\)
⇒\(120°+\widehat{C_1}=180°\)
⇒\(\widehat{C_1}=180°−120°\)
⇒\(\widehat{C_1}=60°\)
Vậy cần điền vào ô trống là 60°.
Câu 7: Lựa chọn đáp án đúng nhất
Tổng các góc ngoài của một tứ giác bằng
A. 360°
B. 270°
C. 180°
D. 720°
Trong tứ giác ABCD, gọi \(\widehat{A_1};\widehat{B_1};\widehat{C_1};\widehat{D_1}\) là các góc trong tại các đỉnh A,B,C,D của tứ giác.
Gọi \(\widehat{A_2};\widehat{B_2};\widehat{C_2};\widehat{D_2}\) là các góc ngoài tại các đỉnh A,B,C,D.
Do hai góc trong và ngoài tại một đỉnh kề bù nhau, nên ta có:
\(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=180°\) (1)
\(\widehat{B_1}+\widehat{B_2}=180°\) (2)
\(\widehat{C_1}+\widehat{C_2}=180°\) (3)
\(\widehat{D_1}+\widehat{D_2}=180°\) (4)
Cộng vế với vế của (1); (2); (3) và (4) ta được:
\(\widehat{A_1}+\widehat{B_1}+\widehat{C_1}+\widehat{D_1}+\widehat{A_2}+\widehat{B_2}+\widehat{C_2}+\widehat{D_2}=720°\)
⇒\(360°+\widehat{A_2}+\widehat{B_2}+\widehat{C_2}+\widehat{D_2}=720°\)
⇒\(\widehat{A_2}+\widehat{B_2}+\widehat{C_2}+\widehat{D_2}=360°\)
Vậy tổng các góc ngoài của một tứ giác bằng 360°
Vậy đáp án đúng là A.
Câu 8: Lựa chọn đáp án đúng nhất.
Khẳng định dưới đây đúng hay sai
Tứ giác MNPQ có \(\widehat{M}:\widehat{N}:\widehat{P}:\widehat{Q}=1:3:4:7\) thì \( \widehat{M}=24°;\widehat{N}=72°;\widehat{P}=96°;\widehat{Q}=168°\)
A. Đúng
B. Sai
Trong tứ giác MNPQ thì:
\(\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}+\widehat{Q}=360°\)
Mà theo bài \(\widehat{M}:\widehat{N}:\widehat{P}:\widehat{Q}=1:3:4:7\)
⇒\(\frac{\widehat{M}}{1}=\frac{\widehat{N}}{3}=\frac{\widehat{P}}{4}=\frac{\widehat{Q}}{7}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\widehat{M}:\widehat{N}:\widehat{P}:\widehat{Q}=1:3:4:7\)
\(\frac{\widehat{M}}{1}=\frac{\widehat{N}}{3}=\frac{\widehat{P}}{4}=\frac{\widehat{Q}}{7}=\frac{\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}+\widehat{Q}}{1+3+4+7}=\frac{360°}{15}=24°\)
⇒\(\widehat{M}=24°\)
\( \widehat{N}=24°.3=72°\)
\(\widehat{P}=24°.4=96°\)
\(\widehat{Q}=24°.7=168°\)
Vậy đáp án là A. Đúng.
Câu 9: Điền kết quả vào ô trống
Tứ giác có độ dài các cạnh là a,b,c và d.
Biết chu vi của tứ giác đó là 76cm và a:b:c:d=2:5:4:8 thì
a= …..cm
b= …..cm
c= …..cm
d= …..cm
Từ a:b:c:d=2:5:4:8, ta có:
\(\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{c}{4}=\frac{d}{8}=\frac{a+b+c+d}{2+5+4+8}=\frac{76}{19}=4\)
⇒a=4.2=8(cm)
b=4.5=20(cm)
c=4.4=16(cm)
d=4.8=32(cm)
Vậy cần điền vào ô trống là a=8cm; b=20cm; c=16cm; d=32cm
Câu 10: Điền kết quả vào ô trống
Cho tứ giác ABCD có \(\widehat{A}=130°; \widehat{B}=90°\), góc ngoài tại đỉnh C bằng 120°. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh D.
Ta có \(\widehat{BCD}+\widehat{DCx}=180°\) (kề bù)
⇒\(\widehat{BCD}=180°−120°=60°\)
Xét tứ giác ABCD ta có :
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°\) (định lý tổng 4 góc trong 1 tứ giác)
⇒\(130°+90°+60°+\widehat{D}=360°\)
⇒\(\widehat{D}=80°\)
Số đo góc ngoài tại đỉnh D là: 180°−80°=100°
Vậy cần điền vào ô trống là 100°
B: Bài tập nâng cao
Câu 1: Điền kết quả vào ô trống
Cho tứ giác ABCD trong hình sau
Tính góc A= …..
Trong tứ giác ABCD, ta có:
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°\) (định lý)
⇒2x+2x+x+x=360°
⇒6x=360°
⇒x=360°:6
⇒x=60°
Do đó \(\widehat{A}=2x=120°\)
Vậy cần điền vào ô trống là 120°
Câu 2: Điền kết quả vào ô trống
Cho tứ giác ABCD, có AB=AD; \(\widehat{B}=90°; \widehat{A}=60°; \widehat{D}=135°\)
Tính số đo góc C và so sánh BD và BC.
Xét tứ giác ABCD có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°\) (định lí)
⇒\(\widehat{C}=360°−(60°+90°+135°)=75°\)
Xét ΔABD có: AB=AD (giả thiết); \(\widehat{A}=60°\)
⇒ΔABD là tam giác đều. (tính chất)⇒\(\widehat{D_2}=60°\)
Mà \(\widehat{ADC}=\widehat{D_1}+\widehat{D_2}\)
⇒\(\widehat{D_1}=135°−60°=75°\)
Xét ΔBDC có: \(\widehat{C}=\widehat{D_1}=75°\)
⇒ΔBDC cân tại B (tính chất)
⇒BD=BC (tính chất)
Vậy \(\widehat{C}=75°\) và BD=BC
Câu 3: Điền kết quả vào ô trống
Cho tứ giác ABCD, có AB=AD; \(\widehat{B}=90°; \widehat{A}=60°; \widehat{D}=135°\)
Từ A kẻ AE⊥CD tại E. Trong tam giác ACE thì \(\widehat{ACE}= .....\)
Xét tứ giác ABCD có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°\) (định lí)
⇒\(\widehat{C}=360°−(60°+90°+135°)=75°\)
Xét ΔABD có: AB=AD (giả thiết); \(\widehat{A}=60°\)
⇒ΔABD là tam giác đều. (tính chất)⇒\(\widehat{D_2}=60°\)
Mà \(\widehat{ADC}=\widehat{D_1}+\widehat{D_2}\)
⇒\(\widehat{D_1}=135°−60°=75°\)
Xét ΔBDC có: \(\widehat{C}=\widehat{D_1}=75°\)
⇒ΔBDC cân tại B (tính chất)
⇒BD=BC (tính chất)
Ta có AB=BD (tính chất) ; BC=BD (chứng minh trên)
⇒AB=BC⇒ΔABCvuông cân (định nghĩa)
⇒\(\widehat{BCA}=45°\)
Mặt khác : \(\widehat{C}=\widehat{BCA}+\widehat{ACD}\)
⇒\(\widehat{ACD}=75°−45°=30°\)
Do đó \(\widehat{ACE}=30°\)
Do đó cần điền vào ô trống là 30°
Câu 4: Điền kết quả vào ô trống
Cho tứ giác ABCD, có AB=AD; \(\widehat{B}=90°; \widehat{A}=60°; \widehat{D}=135°\)
Từ A kẻ AE⊥CD tại E. Khi đó: \(\widehat{EAC}= …..\)
Xét tứ giác ABCD có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°\) (định lí)
⇒\(\widehat{C}=360°−(60°+90°+135°)=75°\)
Xét ΔABD có: AB=AD (giả thiết); \(\widehat{A}=60°\)
⇒ΔABD là tam giác đều. (tính chất)⇒\(\widehat{D_2}=60°\)
Mà \(\widehat{ADC}=\widehat{D_1}+\widehat{D_2}\)
⇒\(\widehat{D_1}=135°−60°=75°\)
Xét ΔBDC có: \(\widehat{C}=\widehat{D_1}=75°\)
⇒ΔBDC cân tại B (tính chất)
⇒BD=BC (tính chất)
Ta có AB=BD (tính chất) ; BC=BD (chứng minh trên)
⇒AB=BC⇒ΔABCvuông cân (định nghĩa)
⇒\(\widehat{BCA}=45°\)
Mặt khác : \(\widehat{C}=\widehat{BCA}+\widehat{ACD}\)
⇒\(\widehat{ACD}=75°−45°=30°\)
Do đó \(\widehat{ACE}=30°\)
Xét ΔAEC có: \(\widehat{E}=90°\)
⇒\(\widehat{EAC}+\widehat{ACE}=90°\) (hai góc nhọn phụ nhau)
⇒\(\widehat{EAC}=90°−30°=60°\)
Do đó cần điền vào ô trống là 60°
Câu 5: Lựa chọn đáp án đúng nhất
Cho một tứ giác có chu vi là 80cm, độ dài một trong các cạnh lớn hơn độ dài các cạnh còn lại là 3cm;4cm;5cm. Độ dài các cạnh của tứ giác đó là:
A. 23cm;20cm;19cm;18cm
B. 23cm;21cm;19cm;17cm
C. 22cm;20cm;19cm;18cm
Gọi độ dài cạnh lớn nhất là x(cm) (x>5;x∈R)
Độ dài các cạnh còn lại là x−3; x−4 và x−5
Chu vi của tứ giác đó là 80cm nên:
x+x−3+x−4+x−5=80
⇒4x−12=80
⇒4x=92
⇒x=23 (thỏa mãn)
Do đó các cạnh có độ dài là: 23cm;20cm;19cm và 18cm.
Vậy đáp án là A.
Câu 6: Lựa chọn đáp án đúng nhất
Cho tứ giác ABCD có \(\widehat{A}=150°\). Tổng số đo 3 góc ngoài còn lại của tứ giác là:
A. 220°
B. 330°
C. 293°
D. 310°
Số đo góc ngoài tại đỉnh A của tứ giác là:
180°−150°=30°
Mà tổng các góc ngoài tại các đỉnh tứ giác bằng 360°.
Do đó tổng số đo 3 góc ngoài tại đỉnh B,C và D là:
360°−30°=330°
Vậy đáp án là B.
Câu 7: Lựa chọn đáp án đúng nhất.
Khẳng định dưới đây đúng hay sai
Cho tứ giác ABCD, vẽ AD∩BC tại E và BA∩CD tại F. Hai tia phân giác các góc AEB và BFC cắt nhau tại K.
Ta chứng minh được \(\widehat{EKF}=\frac{\widehat{B}+\widehat{D}}{2}\)
A. Đúng
B. Sai
Xét trong tam giác ABE có:
\(2\widehat{E_1}=180°−(\widehat{A}+\widehat{B})\)
Xét trong tam giác BCF có:
\(2\widehat{F_1}=180°−(\widehat{C}+\widehat{B})\)
Xét trong tam giác EFD:
\(\widehat{E_2}+\widehat{F_2}=180°−\widehat{D}\)
Mặt khác , trong tam giác EFK:
\(\widehat{EKF}=180°−(\widehat{E_1}+\widehat{E_2}+\widehat{F_1}+\widehat{F_2})\)
=\(180°−[(\widehat{E_1}+\widehat{F_1})+(\widehat{E_2}+\widehat{F_2})]\)
=\(180°−[\frac{180°−(\widehat{A}+\widehat{B})}{2}+\frac{180°−(\widehat{C}+\widehat{B})}{2}+180°−\widehat{D}]\)
=\(−\frac{180°−(\widehat{A}+\widehat{B})}{2}−\frac{180°−(\widehat{C}+\widehat{B})}{2}+\widehat{D}\)
=\(−90°+\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}−90°+\frac{\widehat{C}+\widehat{B}}{2}+\widehat{D}\)
=\(−180°+\frac{\widehat{A}}{2}+\widehat{B}+\frac{\widehat{C}}{2}+\widehat{D}\)
=\(−180°+\frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}+\widehat{B}+\widehat{D}}{2}\)
=\(−180°+\frac{360°+\widehat{B}+\widehat{D}}{2}\)
=\(\frac{\widehat{B}+\widehat{D}}{2}\) (đpcm)
Vậy đáp án là A. Đúng
Câu 8: Điền kết quả vào ô trống
Cho tứ giác ABCD, vẽ AD∩BC tại E và BA∩CD tại F. Hai tia phân giác các góc AEB và BFC cắt nhau tại K.
Nếu \(\widehat{A}+\widehat{C}=180°\) thì số đo \(\widehat{EKF}\) bằng bao nhiêu?
Đáp án: \(\widehat{EKF}= …..\)
Theo bài:
\(\widehat{A}+\widehat{C}=180°⇒\widehat{B}+\widehat{D}=180°\) (1)
Xét trong tam giác ABE có:
\(2\widehat{E_1}=180°−(\widehat{A}+\widehat{B})\)
Xét trong tam giác BCF có:
\(2\widehat{F_1}=180°−(\widehat{C}+\widehat{B})\)
Xét trong tam giác EFD:
\(\widehat{E_2}+\widehat{F_2}=180°−\widehat{D}\)
Mặt khác , trong tam giác EFK:
\(\widehat{EKF}=180°−(\widehat{E_1}+\widehat{E_2}+\widehat{F_1}+\widehat{F_2})\)
=\(180°−[(\widehat{E_1}+\widehat{F_1})+(\widehat{E_2}+\widehat{F_2})]\)
=\(180°−[\frac{180°−(\widehat{A}+\widehat{B})}{2}+\frac{180°−(\widehat{C}+\widehat{B})}{2}+180°−\widehat{D}]\)
=\(−\frac{180°−(\widehat{A}+\widehat{B})}{2}−\frac{180°−(\widehat{C}+\widehat{B})}{2}+\widehat{D}\)
=\(−90°+\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}−90°+\frac{\widehat{C}+\widehat{B}}{2}+\widehat{D}\)
=\(−180°+\frac{\widehat{A}}{2}+\widehat{B}+\frac{\widehat{C}}{2}+\widehat{D}\)
=\(−180°+\frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}+\widehat{B}+\widehat{D}}{2}\)
=\(−180°+\frac{360°+\widehat{B}+\widehat{D}}{2}\)
=\(\frac{\widehat{B}+\widehat{D}}{2} \) (2)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\widehat{EKF}=\frac{180°}{2}=90°\)
Do đó cần điền vào ô trống là 90°.
Câu 9: Lựa chọn đáp án đúng nhất.
Khẳng định dưới đây đúng hay sai
Cho tứ giác ABCD, vẽ AD∩BC tại E và BA∩CD tại F. Hai tia phân giác các góc AEB và BFC cắt nhau tại K.
Nếu \(\widehat{A}+\widehat{C}=180°\) thì hai tia phân giác của hai góc AFD và CED vuông góc với nhau.
A. Đúng
B. Sai
Theo bài:
\(\widehat{A}+\widehat{C}=180°⇒\widehat{B}+\widehat{D}=180° \) (1)
Xét trong tam giác ABE có:
\(2\widehat{E_1}=180°−(\widehat{A}+\widehat{B})\)
Xét trong tam giác BCF có:
\(2\widehat{F_1}=180°−(\widehat{C}+\widehat{B})\)
Xét trong tam giác EFD:
\(\widehat{E_2}+\widehat{F_2}=180°−\widehat{D}\)
Mặt khác , trong tam giác EFK:
\(\widehat{EKF}=180°−(\widehat{E_1}+\widehat{E_2}+\widehat{F_1}+\widehat{F_2})\)
=\(180°−[(\widehat{E_1}+\widehat{F_1})+(\widehat{E_2}+\widehat{F_2})]\)
=\(180°−[\frac{180°−(\widehat{A}+\widehat{B})}{2}+\frac{180°−(\widehat{C}+\widehat{B})}{2}+180°−\widehat{D}]\)
=\(−\frac{180°−(\widehat{A}+\widehat{B})}{2}−\frac{180°−(\widehat{C}+\widehat{B})}{2}+\widehat{D}\)
=\(−90°+\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}−90°+\frac{\widehat{C}+\widehat{B}}{2}+\widehat{D}\)
=\(−180°+\frac{\widehat{A}}{2}+\widehat{B}+\frac{\widehat{C}}{2}+\widehat{D}\)
=\(−180°+\frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}+\widehat{B}+\widehat{D}}{2}\)
=\(−180°+\frac{360°+\widehat{B}+\widehat{D}}{2}\)
=\(\frac{\widehat{B}+\widehat{D}}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\widehat{EKF}=\frac{180°}{2}=90°\)
⇒FK⊥EK
Kết luận: Hai tia phân giác của hai góc AFD và CED vuông góc với nhau.
Vậy đáp án là A. Đúng.
Câu 10: Lựa chọn đáp án đúng nhất.
Khẳng định dưới đây đúng hay sai
Trong một tứ giác, mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi tứ giác.
A. Đúng
B. Sai
Xét tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD.
Ta chứng minh với đường chéo AC (đường chéo BD tương tự)
Áp dụng bất đẳng thức trong hai tam giác ABC và ACD, ta có:
AC<AB+BC
AC<AD+DC
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên:
⇒2AC<AB+BC+AD+DC
⇒\(AC<\frac{AB+BC+AD+DC}{2}\)
Tương tự đối với đường chéo BD.
Kết luận: Trong một tứ giác, mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi tứ giác.
Vậy đáp án là A. Đúng.